Синтез систем керування з регулятором стану?

В линейном случае мы всегда выражаем вектор входа через линейную комбинацию компонент вектора состояния, т.е. в непрерывном времени с помощью уравнения

(8.1)

а в дискретном случае с помощью уравнения

(8.2)

где r(t), r(k) - задающая переменная.

Следует отметить, что уравнения (8.1), (8.2) имеют вид уравнений выхода векторно-матричной модели в пространстве состояний и, таким образом, управляющее устройство, определяемое уравнениями (8.1), (8.2), является статическим. Требуемый астатизм обеспечивается дополнительным включением в СУ элементов, обладающих интегрирующими свойствами.

Для решения задачи синтеза в такой постановке, необходимо измерение всех компонент вектора состояния объекта x(t). Если состояние объекта неизмеряемо, его надо оценить. В детерминированных системах это осуществляется с помощью наблюдателя. Сначала оценивается вектор состояния (t), а затем рассчитывается вектор входа объекта

(8.3)

Одним из фундаментальных методов проектирования детерминированных систем управления в пространстве состояний является метод расположения полюсов.

Как было отмечено в разделе. 3, в линейных системах качество управления и динамические показатели системы можно задать с помощью корней характеристического уравнения или полинома замкнутой системы.

Общая постановка задачи. Для стационарного непрерывного управляемого объекта, уравнение динамики которого имеет вид

(8.4)

и управляющего устройства, описываемого уравнением

(8.5)

необходимо определить матрицу К, такую, чтобы замкнутая система, получаемая подстановкой (8.5) в (8.4),

(8.6)

имела желаемый характеристический полином

(8.7)

Алгоритм 1. Рассмотрим управляемый объект с одним входом и одним выходом. Подстановкой

(8.8)

преобразуем его к канонической форме управляемости

(8.9)

Для линейных стационарных систем характер свободного движения не изменится, если выбрать вместо (8.5) регулятор вида

(8.10)

или

, где .

Подставляя (8.10) в (8.9), получим

(8.11)

В этом случае характеристический полином имеет вид

(8.12)

Сопоставляя полиномы (8.12) и (8.7), получаем соотношения для вычисления коэффициентов матрицы регулятора kRT:

(8.13)

Связь между управляющей переменной u и вектором состояния х определяется согласно выражению (8.10):

(8.14)

то есть

(8.15)

Из этого следует, что для вычисления коэффициентов обратных связей нужно определить еще и матрицу преобразования

Таким образом, алгоритм 1 синтеза регулятора состояния может быть сформулирован следующим образом:

1. На основании требований технического задания к динамическим характеристикам проектируемой СУ формируется критерий качества управления в форме характеристического полинома (8.13), т.е. определяются коэффициенты d0, d1, d2,..., dn-1.

2. Векторно-матричная модель объекта преобразуется к канонической форме управляемости. В процессе преобразования определяются коэффициенты характеристического уравнения a0, a1, a2,..., an-1, прямая и обратная матрицы преобразования

3. На основании выражения (8.13) вычисляются коэффициенты матрицы .

4. По формуле (8.15) определяется матрица реальных коэффициентов обратных связей К по полному вектору состояния.

Алгоритм 2. Общность постановки задачи не нарушится, если считать, что оптимальные динамические характеристики проектируемой системы задаются в виде эталонной модели

(8.16)

имеющей тот же порядок, что и модель объекта (8.4).

Тогда коэффициенты регулятора состояния однозначно определятся путем решения уравнения

(8.17)

Процесс синтеза сводится к двум задачам:

1) определение эталонной модели (8.16);

2) решение уравнения (8.17).

Наиболее просто желаемое качество управления можно задать с помощью эталонной модели, представленной в канонической форме управляемости

(8.18)

Коэффициенты аэ0, аэ1,..., аэ n-1 в этом случае соответствуют коэффициентам d0, d1,..., dn-1 желаемого характеристического полинома (8.7).

Для согласования объекта и эталонной модели введем линейное преобразование

(8.19)

После преобразования (8.9) система “объект + регулятор” (8.6) относительно нового базиса имеет вид

Из условия равенства собственных движений синтезируемой системы и эталонной модели следует, что .

Откуда получается выражение для вычисления значений матрицы обратных связей К регулятора состояния:

(8.20)

Таким образом, для синтеза регулятора состояния в этом случае необходимо:

· задать векторно-матричную модель объекта управления;

· сформировать эталонную модель в канонической форме управляемости (8.18);

· вычислить матрицы преобразования ОУ к канонической форме управляемости Q и Q - 1.

· из матричного выражения (8.20) вычислить К.

Алгоритм 3. Если матрица входов В ВММ объекта управления имеет больше одного ненулевого элемента, то применение алгоритма 2 вызывает определенные затруднения. Для их устранения используем следующую методику.

Представим эталонную матрицу как сумму двух матриц:

(8.21)

где - коэффициентные матрицы объекта управления в канонической форме управляемости; Кk - матрица коэффициентов обратных связей в канонической форме.

Подставляя (8.21) в (8.20):

получим

(8.22)

Так как то согласно (8.21) элементы матрицы Кk можно определить из уравнения

(8.23)

Итак, алгоритм 3 формируется как последовательность следующих операций:

1. Вычисление матриц преобразования ОУ к канонической форме управляемости Q и Q-1.

2. Решение уравнения (8.23) относительно Кk.

3. Вычисление реальных коэффициентов обратных связей (матрицы К) по формуле (8.22).

Сравнительно высокая сложность приведенных выше алгоритмов делает практически неосуществимыми проектные операции синтеза регулятора состояния без ЭВМ.

Компьютерная реализация представленных выше алгоритмов синтеза регулятора состояния при построенной ВММ ОУ затруднений не вызывает, так как все вычисления построены на основе типовых операций обработки матриц и матричной алгебры.

Эффективность проектных решений, полученных в результате вычислительных экспериментов, выполняемых с помощью компьютерных средств реализации указанных алгоритмов, может быть повышена за счет включения пользователя в заключительный этап уточнения параметров регулятора состояния (РС).

В практических ситуациях часто нет необходимости использовать в дальнейших операциях точные значения расчетных параметров РС. Это объясняется возможными погрешностями и трудностями реализации. Поэтому вполне оправдано уже на начальных стадиях проектирования "поиграть" параметрами РС и дополнительных устройств, а в отдельных случаях даже сократить число обратных связей СУ.

Екзаменаційні питпння за курсом «ТАУ – частина2»

1. Нелінійні АСР: основні поняття, визначення, відмінні риси, приклади.

Нелинейной называется система, для ко­торой не выполняется принцип суперпози­ции [25]; поведение такой системы описы­вается нелинейными дифференциальными уравнениями. На практике наиболее часто встречаются системы с безинерционными нелинейными звеньями. Оператором пре­образования такого звена является функцио­нальная зависимость между входной и вы­ходной величинами, называемая статической характеристикой звена. Нелинейным АСР присуши принци­пиально новые свойства в динамике, которые отсутствуют у линейных АСР. Обратим внимание на некоторые из них. Во-первых, к нелинейным АСР, как ука­зывалось выше, неприменим принцип супер­позиции. Во-вторых, качество переходных процессов в нелинейных АСР зависит от степени возмущения. На рис. 2.32 иллюстри­руется характер переходных процессов в одной и той же нелинейной системе при различных возмущениях.

Отличительной особенностью нелиней­ных систем является возможность возникно­вения в них автоколебаний. На рис2.33 а показан случай, когда при любых возмуще­ниях в системе устанавливаются незатухаю­щие колебания постоянной амплитуды. Та­кие устойчивые колебания с постоянной амплитудой называются автоколебаниями. Автоколебания представляют собой новый вид установившегося режима, возможного при отсутствии внешних возмущений и ха­рактерного только для нелинейных систем. На рис. 2.33,6 показан случай, когда амплиту­да установившихся колебаний зависит от степени возмущения. На рис. 2.33, в показан случай, когда при малых возмущениях авто­колебания устойчивые, а при больших воз­мущениях - неустойчивые. Таким образом, при указанных особен­ностях нелинейных систем необходимо при рассмотрении их устойчивости оговаривать начальные условия и внешние воздействия. Поэтому для нелинейных систем надо гово­рить не об устойчивости вообще, а об устой­чивости определенного их режима. В связи с этим при изучении нелинейных систем употребляют понятия устойчивости в малом, в большом и в целом. Устойчивость в малом — это устойчи­вость при бесконечно малых отклонениях от исходного режима. Устойчивость в боль­шом — это устойчивость при конечных откло­нениях, возможных в данной системе по условиям ее работы. Устойчивость в целом — это устойчивость при отсутствии каких-либо ограничений на отклонения.