Дослідження нелінійних систем (метод фазових траєкторій)

Метод фазовых траекторий. Состояние динамической системы, описываемое дифференциальными уравнениями n-го порядка, в каждый момент времени определяется зна­чениями регулируемой величины и (n — 1) ее производных. Это дает возможность предста­вить в некотором n-мерном пространстве состояние системы в каждый момент вре­мени отдельной точкой - так называемой изображающей точкой. Процесс изменения состояния системы представляется как неко­торое движение изображающей точки, точ­нее — как ее траектория, так называемая фазовая траектория. Совокупность фазовых траекторий составляет фазовую картину системы (фазовый портрет системы).

Для практических расчетов пользование многомерным фазовым пространством свя­зано с определенными трудностями, поэтому при анализе нелинейных систем обычно ограничиваются двухмерной фазовой плос­костью. В этом случае по оси абсцисс откладывают значение регулируемой вели­чины у (ее отклонение от установившегося состояния), а по оси ординат - значение

z = dy/dt.

Состояние АСР, описываемое уравне­нием не выше второго.порядка, в каждый момент времени определяется значениями у и z и может быть охарактеризовано поло­жением точки М на фазовой плоскости (рис. 2.45). В переходном процессе значения у и z будут изменяться и, следовательно, изображающая точка М будет занимать раз­личные положения на фазовой плоскости. По траектории этой точки можно судить о характере переходного процесса.

Если у — отклонение регулируемого па­раметра от установившегося значения, то для устойчивых систем в установившемся состоянии у = 0 и z = 0, следовательно, фазовые траектории устойчивой АСР при t -> 0 должны стремиться к началу коорди­нат, а фазовые траектории неустойчивой АСР при t -> ∞ должны удаляться от начала координат. Точки фазовой плоскости, где сходятся (или откуда расходятся) фазовые траектории, называются особыми точками.