Таким образом, в этой области появляется бесконечное множество поверхностей скольжения

Так как грунт, находящийся в предельном напряженном состоянии, на­ходится также и в равновесии, то для него могут быть использованы диф­ференциальные уравнения равновесия плоской задачи сплошной среды:

(2.2)

Путем совместного решения условия (2.1) и системы (2.2) получена квазилинейная гиперболическая система из двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, которая разрешается двумя системами обыкновенных дифференциальных уравнений - уравнениями характеристик:

(2.3)

где есть угол между осью ОХ и направлением σ₁, дифференциальными соотношениями на характеристиках:

(2.4)

здесь ς,η,А,В - функции,зависящие от х,у,σ_х,σ_у,τ_ху.

При помощи системы (2.3) определяются координаты точек характеристик. Затем найденные х и у подставляются в систему (2.4), решение которой дает неизвестные функции ς и η. Определяется δ и затем путем перехода к начальным переменным находятся компоненты напряжений в точках пересечения характеристик.

В плоскости х, у рассматриваются две близко лежащие точки 1 и 2(рис. 2.3) с координатами (х₁, у₁) и(х₂,у₂). Принимается, что в этих точках известны значения искомых функций ς, η, δ. Через точку 1 проводите прямая в направлении характеристики первого семейства, выходящей и точки 1, а через точку 2 - прямая в направлении характеристики второго

семейства, выходящей из точки 2. Эти прямые пересекутся в некоторой точке 3. Координаты точки 3 (, ) есть решение системы

Система (2.5) получена из системы (2.3) путем замены входящих в нее,дифференциалов конечными разностями. Заменяя дифференциалы, входящих в систему (2.4), конечными разностями, получаем систему уравнений для определения неизвестных функций и :

Дальше определяются и компоненты напряжений в

Точке 3. Индекс 1 означает первое приближение искомых функций. Это приближение может оказаться недостаточно точным, так как характеристики заменили отрезками прямых, выходящих из точек 1 и 2, в то время как характеристики в общем случае криволинейны. Однако, если брать расстояние между точками 1 и 2 достаточно малым, полученное приближение может быть в пределах необходимой точности расчетов.

Таким образом, последовательно определяются неизвестные функции во всем ряду области. Затем этот ряд принимается за новые граничные условия и счет повторяется для следующего ряда (рис. 2.4).

Характеристики в теории предельного равновесия называют линиями скольжения. Их физический смысл состоит в том, что если ось оу совпадает с поверхностью сыпучего полупространства и на участке аb задана нагруз­ки, то этих граничных условий достаточно для определения напряжений в тобой точке зоны.

В большинстве инженерных расчетов используются результаты, полученные на основании теории Кулона. В тех. Случаях, корда результаты следует уточнить, используются поправочные коэффициенты, вводимые на основании точных решений и экспериментальных данных.