Ряды Тейлора и Маклорена

Теорема: Пусть функция f(x) имеет в точке «а» и некоторые ее окресности производные порядка n+1. Пусть Х- любое значение аргумента из указанной окресности . Тогда между т. а и х найдется точка такая, что справедлива следующая формула:

(1)

многочлен относительно Х формулы (1).

Обозначим через , где:

; где

Фиксируем любое значение Хиз указанной окресности для определенности считаем, что х>a. Обозначим через t- переменную величину изменяющуюся на отрезке (а;х) и рассмотрим на этом отрезке вспомагательную ф-ию:

(2)

ф-ия F(t)- на отрезке (а;х) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Из формулы (2) и из условий наложенных на ф-ию f(x), вытекает, что F(t)- непрерывна и диффиринцируема на отрезке (а;х).

.

Пологая, что в (2) f=x, получим:

Внутри отрезка (а;х) сущ т. , такая что: (3)

Диффиринцируя равенство (3) по t получим:

Член в формуле Лагранжа.

Формулой Маклорена наз формулу Тейлора для а=0:

, где

1. Понятие множества.

2. Понятие функции, ее свойства.

3. Элементарные функции. Классификация функций. Преобразование графике».

4. Предел числовой последовательности.

5. Предел фун в бесконечн и в точке.

6. Бесконечно малые величины.

7. Бесконечно большие величины.

8. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.

9. Первый замечательный предел.

10. Второй замечательный предел.

11. Непрерывность функции. Свойства функций непрерывных в точке и на отрезке.

12. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

13. Правила дифференцирования.

14. Производная сложной и обратной функций.

15. Производные основных элементарных функций.

16. Производная неявной функции. Производные высших порядков.

17. Теорема Ферма.

18. Теорема Роля.

19. Теорема Лагранжа.

20. Правило Лопиталя.

21. Возрастание и убывание функции.

22. Экстремум функции.

23. Выпуклость функции. Точки перегиба.

24. Асимптоты графика функции.

25. Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков.

26. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

27. Свойства неопределенного интеграла,

28. Интегрирование разложением. Метод подстановки.

29. Метод интегрирования по частям.

30. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.

31. Интегрирование рациональных функций.

32. Интегрирование тригонометрических функций.

33. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

34. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

35. Свойства определенного интеграла.

36. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

37. Геометрические приложения определенного интеграла.

38. Несобственные интегралы.

39. Понятие функции нескольких переменных.

40. Геометрическое изображение функции двух переменных.

41. Предел функции двух переменных.

42. Непрерывность функции двух переменных. Свойства непрерывных функций.

43. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые условия дифференцируемости.

44. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Достаточное условие дифференцируемости.

45. Производные сложных функций.

46. Дифференциал функции.

47. Производная по направлению.

48. Градиент.

49. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

50. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

51. Наибольшее и наименьшее значения функции.

52. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

53. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших ква.

54. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Геометрическое истолкование.

55. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

56. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.

57. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод замены переменной.

58. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянн

59. Уравнение Бернулли.

60. Уравнения в полных дифференциалах.

61. Интегрирующий множитель.

62. Дифференциальные уравнения высших порядков.

63. Типы уравнений, допускающих понижение порядка.

64. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейный дифференциальный оператор.

65. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского и его сво.

66. Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения.

67. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

68. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Теоремы об общем и частном решениях.

69. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод неопределенных коэффициентов.

70. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

71. Основные понятия. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.

72. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

73. Ряды с положительными членами. Признак сравнения.

74. Предельный признак сравнения. Признак Даламбера.

75. Интегральный признак сходимости Коши.

76. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.

77. Степенные ряды. Теорема Абеля.

78. Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

79. Ряды Тейлора и Маклорена.

Рис 1

f(b ) B

A

f(a)

0 а x в х

28. Интегрирование разложением. Метод подстановки. Интегрирование разложением

Метод подстановки

Интегрирование путём введения новой переменной, основанной на формуле

29. Метод интегрирования по частям. Если и=φ₁(х), v=φ₂(х) – диференциальн. ф-ии, то из формулы диференциала произведения двух ф-ий d(u∙v)^/ = udv + vdv получается формула интегрирования по частям

Эта формула применяется в случае, когда подинтегральная ф-ия представляет собой произведение алгебраической ф-ии и трансцендентной.

В качестве и, обычно, выбирается ф-ия, которая упрощается дифференцированием, а в качестве dv оставшаяся часть подинтнгрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v, путём интегрирования. Пример:

30. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.

69.Способ неопределённых коэффициентов.

№ по порядку		Вид правой части	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
	А)		Число 0 не является корнем характеристического уравнения
Б)
Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности
	А)	е - действ.	Число k не является корнем характеристического уравнения
Число k является корнем характеристического уравнения кратности
	А)		Числа не является корнями характеристического уравнения
Числа является корнями характеристического уравнения кратности
	А)		Числа не являются корнями
Числа являются корнями кратности

рис.4

рис.2

Рис.6

Рис. 5