Линейное однородное диф-ое ур-ие высших порядков

Линейный диф-ый оператор

Линейным диф-ым ур-ем n-го порядка называется ур-ие вида:

a₀(x)y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+...+a_n-1(x)y'+a_n(x)y=A(x) (1)

Приведенный вид ур-ия будет такой:

yⁿ+p₁(x)y^(n-1)+...+p_n-1(x)^-1y+p_n(x)y=q(x) (2)

Ур-ие (2) называют линейным неоднородным или ур-ем с правой частью.

Если q(x)=0, то ур-ие принимает вид:

a₀(x)y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+...+a_n-1(x)y'+a_n(x)y=0 (3)

и его называют однородным ур-ем или ур-ем без правой части.

Обозначим левую часть ур-ия через L(y)

L[у]=yⁿ+p₁(x)y^(n-1)+...+p_n-1(x)^-1y+p_n(x)y (4)

Это выражение будем называть линейным диф-ым оператором от ф-ии.

Свойства линейного оператора:

Постоянный множитель можно вынести за знак оператора

L[Cy]=CL[y] (5)

Оператор от суммы дух ф-ий равен сумме операторов от каждого слагаемого в отдельности

L[y₁+y₂]=L[y₁]+L[y₂] (6)

Рассмотрим теоремы о свойствах частных решений линейного однородного диф-го ур-ия

L[y]=0 (7)

Теорема 1

Если ф-ия у₁ является решением ур-ия (3), то м ф-ия су₁ есть решением этого ур-ия

Док-во

Если у удовлетворяет ур-ию (3), то в следствии равенства (7) L[y₁]=0

Принимая во внимание условие однородности получаемй:

L[y₁]=CL[y₁]=0, то L[Cy₁]=0

Что означает, что ф-ия су₁ также удовлетворяет ур-ию (3)

Теорема 2

Если ф-ия у₁ и у₂ являются решением ур-ия и (3), то и ф-ия у₁+у₂ есть решением этого ур-ия.

Теорема 3

Если у₁, у₂,…, у_n частные решения уравнения, то их линейная комбинация у=0 с₁у₁+с₂у₂+…+c_ny_n есть также решением этого ур-ия