Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов

Из теоремы Абеля следует, что сущ такое число , что при - ряд сходится, а при

- ряд расходится.

Число R- наз радиусом сходимости, а интервал от (-R;R) – интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости ряд может сходится и расходится. Рассмотрим ряд (1), в составе которого абсолютные величины его членов:

(4)

в котором все коэф Сn- отличны от 0.

По признаку Даламбера ряд (4) сходится при:

- если этот предел явл радиусом сходимости степенного ряда:

(5)

Свойства степенных рядов:

Пусть функция f(x) – сумма степенного ряда.

1. На любом отрезке АВ целиком пренадлежащем интервалу сходимости, ф-ия f(x) явл непрерывной, а отсюда следует, что степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке.

2. Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно диффиренцировать.

При этом после диффиренцирования или интегрирования, полученные ряды имеют тот же радиус сходимости R.