Теорема (о существовании и единстве)

Пусть дано диф-ое ур-ие n-го порядка и соответствующая система начальных условий, если ф-ия f(x, y, y',…., y^(n-1)) непрерывна в окрестности начальных условий и имеет непрерывные частные производные по аргументам x, y, y', y^(n-1), то существует и притом единственное решение ур-ия, определенное на некотором интервале, соединяющем x₀, и удовлетворяющее заданной системе начальных условий.

Общим решением диф-го ур-ия n-го порядка называется решение содержащее произвольные постоянные которые можно подобрать таким образом, чтобы удовлетворить любой допустимой системе начальных условий.

Типы уравнений, допускающих понижение порядка

1) Простейшим типом ур-ий n-го порядка допускающим понижение порядка является уравнение вида:

yⁿ=f(x) (1)

Здесь порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования.

Пример

y'''=sinx-cosx

y''=∫(sinx-cosx)dx = -cosx-sinx+c₁

y'= -sinx+cosx+c₁x+c₂

y=cosx+sinx+c₁x²/2+c₂x+c₃

2) Диф-ое ур-ие F(x, y^(k), y^(k+1),…., y⁽ⁿ⁾)=0 (2) не содержащее явной искомой функции и младших производных до (k-1)-го порядка включительно, допускает понижение порядка на k единиц.

Примем за новую искомую функцию

U=y^(k) (3), следовательно

U=y^(k+1) U^(n-1)=y⁽ⁿ⁾

Так что подстановка выражения (3) в (2) приводит к виду

F(x, U, U',…., U^(n-k))=0

Проинтегрировав это ур-ие и определив новую искомую функцию U, можно найти ф-ию y рассматривая равенство (3) как ди-ое ур-ие допускающее понижение порядка последовательным интегрированием.

Пример:

y^IV=√y'''

y'''=U U'=y^IV

U'=√U

∫dU/√U=∫dx

2√U=x+c₁

U=(x/2+c₁/2)²

y'''= (x+c₁)²

y''= (x+c₁)³+c₂

y'= (x+c₁)⁴+c₂x+c₃

y= (x+c₁)⁵+c₂x²/2+c₃x+c₄

3) Частным случаем рассмотренного выше типом ур-ия является ур-ие 2-го порядка не содержащее явно искомой ф-ии:

F(x, y', yⁿ)=0 (4)

Здесь порядок уменьшается на единицу подстановкой y'=U

4) Ур-ие вида F(y, y', y'',….,y⁽ⁿ⁾)=0 (5) не содержит явно неизвестную переменную, здесь порядок понижается на единицу путем замены обоих переменных. В качестве новой искомой ф-ии y'=p, а за новую независимую переменную принимаем y.

По правилу диф-ия получаем:

y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=p*dp/dy

y''=d/dx*(p*dp/dy)=dp/dx*dp/dy+p*d/dx*(dp/dy)=p(dp/dy)²+p(dp/dy)'_y*dy/dx=p(dp/dy)²+p²*d²p/dy²