III-семестр

Занятие 1. Определенный интеграл. Нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу.

Определенный интеграл по Риману. Нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу.

Цели и задачи занятия:

- сформировать представление о определенном интеграле

Методические указания: Наибольшее внимание следует уделить понятию определенного интеграла.

Задания к практическому занятию № 1

[4] №:2182,2186,2188,2206,2208

контрольные вопросы:

1) Что такое разбиение сегмента [ a,b ]?

2) Что такое интегральная сумма функции y=f(x) на данном промежутке?

3) Дайте определение определенного интеграла.

4) В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

Задания № 1 к СРС

[4] №:2183,2187,2189,2207,2209

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 2: Классы интегрируемых функций.

Необходимые и достаточные условия интегрируемости. Классы интегрируемых функций.

Цели и задачи занятия:

- научить распознавать необходимые и достаточные условия интегрируемости.

Методические указания: Чтобы легче разобрать и усвоить доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии интегрируемости, нужно сначала продумать, как доказывались свойства сумм Дарбу. Запомните классы интегрируемых функций.

Задания к практическому занятию № 2

[4] №:2196,2198,2202,2204,2210,2212,2214

контрольные вопросы:

1) Сформулируйте условие интегрируемости функций;

2) Назовите классы интегрируемых функций.

Задания № 2 к СРС

[4] №:2197,2199,2203,2205,2211,2213,2215

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 3. Основная формула интегрального исчисления. Основные методы интегрирования в определенном интеграле.

Основные свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменного в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Цели и задачи занятия:

- знакомить студентов основной формулой интегрального исчисления

- научить применять основные методы интегрального исчисления

Методические указания: Наибольшее внимание следует уделить формуле

Ньютона-Лейбница и основным методам интегрирования.

Задания к практическому занятию № 3

[4] №:2291,2293,2273,2275,2277,2279

контрольные вопросы:

1) Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

2) Что такое интеграл с переменным верхним пределом?

5) Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула

Ньютона- Лейбница

4) При каких условиях справедлива формула Ньютона-Лейбница?

5) По какой формуле проводится интегрирование по частям.?

6) Сформулируйте правило замены переменной в определенном интеграле.

Задания № 3 к СРС

[4] №:2292,2294,2274,2276,2278,2280

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 4. Приложение определенного интеграла.

Приложение определенного интеграла. Вычисление площадей в прямоугольных координатах. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Цели и задачи занятия:

- научить распознавать задачи, решаемые с помощью определенного интеграла.

Методические указания: Для лучшего усвоения приложения определенного интеграла следует выяснить общий характер графика функции и получить правильный математический эскиз.

Задания к практическому занятию № 4

[4] №:2397,2399,2431,2433,2443,2463,2465,2487,2489,2501

контрольные вопросы:

1) Что такое плоская фигура?

2) Что такое квадрируемая фигура?

3) Что такое площадь плоской фигуры?

4) Приведите формулы для вычисления:

а) площадей плоских фигур;

б) объемов тел вращения.

Задания № 4 к СРС

[4] №:2398,2400,2432,2434,2444,2464,2466,2488,2490,2502

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 5. Несобственные интегралы 1-го рода.

Несобственные интегралы 1-го рода. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и интегрирование по частям.

Цели и задачи занятия:

- сформировать представление о несобственном интеграле первого рода.

- ознакомить студентов основными методами интегрирования несобственного интеграла

Методические указания:

Наибольшее внимание следует уделить методам интегрирования несобственного интеграла.

Обратите особое внимание на определение несобственного интеграла.

Задания к практическому занятию № 5

[4] №:2334,2336,2338,2340,2344, 2346, 2348, 2358, 2366, 2368

контрольные вопросы:

1) Сформулируйте определение несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования. Схема вычисления такого интеграла.

2) Сформулируйте признаки сходимости несобственного интеграла первого рода

3) По какой формуле проводится интегрирование по частям в

несобственном интеграле первого рода?

4) Сформулируйте правило замены переменной в несобственном

интеграле.

Задания № 5 к СРС

[4] №:2339,2341,2343,2345, 2347,2349,2359,2361,2363

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 6. Несобственные интегралы второго рода.

Несобственные интегралы второго рода.

Главное значение несобственного интеграла.

Цели и задачи занятия:

- сформировать представление о несобственном интеграле второго

Методические указания: Обратите особое внимание на определение несобственного интеграла второго рода.

Задания к практическому занятию №12

[4] №:2335,2337,2351,2357а

контрольные вопросы:

1) Сформулируйте определение несобственного интеграла от неограниченной

функции и схему его вычисления.

2) Сформулируйте признаки сходимости несобственного интеграла второго рода

3) Дайте определение главному значению несобственного интеграла.

Задания №12 к СРС

[4] №:2342,2353,2357г,2362

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 7. Функции многих переменных.

n-мерное евклидово пространство. Окрестности и пределы последовательности точек. Открытые и замкнутые множества. Сходимость в n-мерном евклидовом пространстве. Функции многих переменных. Предел, непрерывность функций многих переменных.

Цели и задачи занятия:

- дать представление о функциях нескольких переменных.

Методические указания: Перед тем, как приступить к изучению раздела функции многих переменных, следует восстановить в памяти известные вам понятия и утверждения, установленные для функции одной переменной.

Задания к практическому занятию № 7

[4] №: 3136, 3138, 3140, 3142, 3144, 3146

контрольные вопросы:

1) Дайте определение функции нескольких переменных?

2) Что такое график функции двух переменных?

3) Что такое линия уровня?

4) Дайте определение предела функции двух переменных в точке (х₀, у₀).

5) Какая функция от двух переменных называется непрерывной в точке (х₀, у₀)?

Задания № 7 к СРС

[4] №:3137, 3139, 3141, 3143, 3145, 3147

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 8. Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Частные производные. Полный дифференциал. Дифференцируемость функций. Дифференцирование композиции функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Производная по направлению. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Цели и задачи занятия:

- выработать у студентов прочные знания по дифференцированию функции нескольких переменных.

Методические указания: Наибольшее внимание следует уделить правилам нахождения частных производных и дифференциалов.

Задания к практическому занятию № 8

[4] №: 3213, 3215, 3217, 3221, 3235, 3237, 3257,3259,3261,3269,3271,3273,3283,3285

контрольные вопросы:

1) Дайте определение частной производной функции нескольких переменных.

2) Сформулируйте правило вычисления частных производных.

3) Сформулируйте определение дифференциала функции нескольких переменных.

4) Что такое производная по направлению?

5) Что такое градиент?

6) Дайте определение функции нескольких переменных?

7) Что такое график функции двух переменных?

8) Что такое линия уровня?

9) Дайте определение предела функции двух переменных в точке (х₀, у₀).

10) Какая функция от двух переменных называется непрерывной в точке (х₀, у₀)?

11) Дайте определение второй производной функции в точке ;

12) Дайте определение дифференциала второго порядка функции в точке .

Задания № 8 к СРС

[4] №:3214, 3216, 3218, 3222, 3236, 3238, 3258,3260,3262,3270,3272,3274,3284,3286

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 9. Неявные функции.

Неявные функции. Якобиан. Существование и дифференцируемость неявно заданных функций.

Цели и задачи занятия:

- сформировать у студентов представление о неявных функциях.

Методические указания: Обратите особое внимание на теорему существования неявной функции и правилу нахождения производных неявной функции.

Задания к практическому занятию № 9

[4] №:3371,3373,3391,3393,3383,3385

контрольные вопросы:

1) Что такое неявная функция?

2) Сформулируете теорему существования неявной функции.

3) Выведите формулу для производной неявной функции.

4) Как определяются частные производные от неявной функции.

Задания № 9 к СРС

[4] №:3372,3374,3392,3394,3384,3386

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 10. Экстремум функции многих переменных.

Экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Функциональная зависимость. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Цели и задачи занятия:

- сформировать представление об экстремумах функции многих переменных.

Методические указания: Наибольшее внимание следует уделить определению экстремума функции многих переменных.

Задания к практическому занятию № 10

[4] №:3621, 3623, 3625, 3627, 3654,3656,3658,3662,3676,3678

контрольные вопросы:

1) Какая точка называется точкой максимума (минимума) функции двух переменных?

2) Сформулируйте необходимый признак экстремума функции двух переменных.

3) Сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух переменных.

4) Приведите схему исследования функции двух переменных на экстремум.

5) Как найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных?

6) Какая точка называется точкой условного экстремума?

7) В чем заключается сущность метода множителей Лагранжа?

Задания № 10 к СРС

[4] №:3622,3624,3626,3628, 3655,3657,3659,3663,3677,3679

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 11. Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов.

Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши сходимости ряда. Сходимость положительных рядов. Сравнение рядов.

Цели и задачи занятия:

- дать знания о числовых рядах.

Методические указания: Обратите особое внимание на сравнение рядов.

Задания к практическому занятию № 11

[4] №: 2546,2548,2556,2558,2574, 2576

контрольные вопросы:

1) Что такое числовой ряд?

2) Что называется суммой числового ряда?

3) Что называется частичной суммой числового ряда?

4) Какой ряд называется сходящимся; расходящимся?

5) Сформулируйте основные свойства сходящихся рядов.

6) Сформулируйте необходимый признак сходимости.

7) Какой ряд называется гармоническим?

Задания № 11 к СРС

[4] №: 2547, 2549, 2557, 2559, 2575, 2577

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 12. Признаки сходимости положительных рядов.

Признаки сходимости положительных рядов Коши, Даламбера, Раабе.

Цели и задачи занятия:

- сформировать представление о признаках сходимости числовых рядов..

Методические указания: Обратите внимание на признаки сходимости рядов.

Задания к практическому занятию № 12

[4] №: 2578,2580,2582,2586,2588

контрольные вопросы:

1) Сформулируйте достаточные признаки сходимости положительных рядов:

а) признак сравнения;

б) предельный признак сравнения;

в) признак Даламбера;

г) интегральный признак.

д) признак Раабе

Задания № 12 к СРС

[4] №: 2579, 2581, 2583, 2587, 2589

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 13. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Теорема Римана. Признаки сходимости Дирихле и Абеля.

Цели и задачи занятия:

- дать знания о числовых знакопеременных рядах и о признаках сходимости Дирихле и Абеля.

Методические указания: Обратите особое внимание на признаки сходимости рядов.

Задания к практическому занятию №8

[4] №:2672,2680,2682,2684,2688,2696,2698

контрольные вопросы:

1) Какой ряд называется знакочередующимся?

2) Сформулируйте признак Лейбница.

3) Какой ряд называется знакопеременным?

4) Сформулируйте достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

5) Какой ряд называется абсолютно сходящимся?

6) Какой ряд называется условно сходящимся?

7) Сформулируйте признаки сходимости числовых рядов:

а) признак Дирихле;

б) признак Абеля.

Задания №8 к СРС

[4] №:2673,2681,2683,2685,2689,2697,2699

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 14 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля равномерной сходимости.

Цели и задачи занятия:

- Дать знания о функциональных последовательностях и рядов.

Методические указания: Наибольшее внимание в этой теме следует уделить понятию равномерной сходимости и на признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля равномерной сходимости.

Задания к практическому занятию № 14

[4] №: 2716,2718,2720,2722,2724,2726, 2746,2748,2750,2752,2754,2756,2774а,2776

контрольные вопросы:

1) Что называется функциональной последовательностью?

2) Что называется функциональным рядом?

3) Что называется суммой функционального ряда?

4) Что называется частичной суммой функционального ряда?

5) Какой ряд называется сходящимся; расходящимся?

6) Какой ряд называется равномерно сходящимся;

7) Сформулируйте основные свойства равномерно сходящихся рядов.

8) Сформулируйте необходимый признак сходимости.

9) Какой ряд называется гармоническим?

10) Сформулируете теорему о непрерывности суммы равномерно сходящихся рядов.

11) Сформулируете теорему о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда.

Задания № 14 к СРС

[4] №: 2717, 2719, 2721, 2723, 2725, 2727, 2747,2749,2751,2753,2755,2757,2774в,2777

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 15. Степенные ряды.

Степенные ряды. Радиус и круг сходимости. Теорема Абеля. Формула Коши Адамара. Разложение функций в степенные ряды.

Методические указания: Наибольшее внимание в этой теме следует уделить радиусу и кругу сходимости и на способы разложения функций в степенные ряды.

Задания к практическому занятию № 15

[4] №: 2812,2814,2816,2818,2820,2822, 2873а,в,д,ж,2875,2877

контрольные вопросы:

1) Что такой степенной ряд?

2) Что называется интервалом сходимости?

3) Перечислите свойства сходящихся степенных рядов.

4) Что такое разложение функций в степенной ряд?

5) Сформулируете теорему единственности разложения в степенной ряд.

Задания № 15 к СРС

[4] №:2813,2815,2817,2819,28212823, 2873б,г,е,з,2874,2876

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]