Семестр. Занятие 1: Теория вещественных чисел

Занятие 1: Теория вещественных чисел

Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби. Вещественные числа. Сравнение вещественных чисел. Свойства вещественных чисел, связанные с неравенствами. Геометрическая интерпретация вещественных чисел.

Цели и задачи занятия:

- выработать у студентов прочные знания по теории вещественных чисел.

Методические указания: Обратите особое внимание на определение вещественных чисел.

Задания к практическому занятию № 1

[4] №: 2, 4, 6, 8, 22, 24, 26

контрольные вопросы:

1) В чем состоит различие бесконечных десятичных дробей, представляющих рациональные и иррациональные числа?;

2) Сформулируете правило сравнения двух неравных чисел?

Задания № 1 к СРС

[4] №: 1, 3, 7, 9, 21, 23, 25

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 2: Точные верхние и нижние грани числовых множеств.

Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Определение точной верхней и нижней грани. Существование точной верхней и нижней грани. Сложение, вычитание, умножение и деление вещественных чисел. Свойства вещественных чисел. Метод математической индукции. Неравенство Бернулли. Суммирование. Бином Ньютона.

Цели и задачи занятия:

- сформировать представление о существовании точной верхней и нижней граней.

Методические указания:

Наибольшее внимание следует уделить определению точной верхней и нижней грани.

Задания к практическому занятию № 2

[4] №:18 а), 19 а) 20 а), 21 а)

контрольные вопросы:

Дайте определение точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества.

Какое множество называется ограниченным?

Сформулируйте правила сложения и умножения двух любых вещественных чисел

В чем состоит метод математической индукции?

Задания № 2 к СРС

[4] №: 18 б), 19б), 20 б), 21 б)

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 3: Числовые последовательности и ее предел.

Числовые последовательности и ее предел. Единственность предела последовательности. Ограниченность сходящиеся последовательности.

Свойства сходящиеся последовательностей, связанные с неравенствами. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Цели и задачи занятия:

- дать знания о числовых последовательностей и о пределе последовательности.

Методические указания:

Обратите особое внимание на определение предела последовательности.

Задания к практическому занятию № 3

[4] №: 41, 42 а), г), 43 а), в), 46, 48, 50, 52

контрольные вопросы:

- Сформулируйте определения ограниченной и неограниченной последовательности;

- Сформулируйте определение предела последовательности;

- Дайте геометрическую интерпретацию определения предела последовательности;

Задания № 3 к СРС

[4] №: 42 б), в), 43 б), 47, 49, 51, 53

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 4: Монотонные, фундаментальные последовательности. Монотонные последовательности. Точные грани последовательности. Признак сходимости монотонной последовательности. Число е. Теорема Кантора о вложенных отрезках.

Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Фундаментальная последовательность. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.

Цели и задачи занятия:

- сформировать представление о признаках сходимости числовых последовательностей.

Задания к практическому занятию № 4

[4] №: 77, 79, 81,83, 85, 97, 99, 101

контрольные вопросы:

1) Дайте определение монотонной последовательности.

2) Дайте определение точной грани последовательности.

3) Сформулируйте признак сходимости монотонной последовательности.

4) Что такое число е?

5) Сформулируете теорему о Больцано – Вейерштрасса

Задания № 4 к СРС

[4] №: 78, 80, 82, 84, 96, 98,100, 102

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 5: Функции и их пределы.

Понятие функции. Способы задания функции. Предел функции в точке. Два определения предела функции и их эквивалентность. Односторонние пределы.

Бесконечные пределы в конечной точке. Предел в бесконечности. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. Предел монотонной функции. Критерий Коши существование предела функции.

Цели и задачи занятия:

- сформировать представление о пределе функции в точке.

Задания к практическому занятию № 5

[4] №: 151, 153, 155, 157,259, 257, 435, 441, 474, 515, 531

контрольные вопросы:

- Дайте определение функции

- Назовите способы задания функции

- Дайте определение предела функции в точке по Коши

- Дайте определение предела функции в точке по Гейне

- Сформулируйте определения односторонних пределов

Задания № 5 к СРС

[4] №: 152, 154, 156, 254, 256, 258, 437, 443, 475, 514, 519, 530

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 6: Непрерывность функции в точке.

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных в точке. Различные определения непрерывности функции в точке.

Цели и задачи занятия:

- Формирование понятия непрерывности функции в точке.

Задания к практическому занятию № 6

[4] №: 674 а), е), ж), 675, 677, 679, 687, 689, 691, 693,

контрольные вопросы:

- Дайте определение непрерывности функции в точке по Коши

- Дайте определение непрерывности функции в точке по Гейне

- Сформулируйте определение непрерывности функции справа(слева) в точке.

- При каких условиях из существования односторонних пределов следует непрерывность функции в точке?

- Какие точки называются точками разрыва функции?

- Дайте определения точки устранимого разрыва и точек разрыва I и II рода.

Задания № 6 к СРС

[4] №: 674 б), в), г), 676, 678, 680, 688, 690, 692, 694

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 7: Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений. Промежуточные значения непрерывной функции. Обратные функции

Цели и задачи занятия:

- Научить распознавать свойства функций, непрерывных на отрезке.

Задания к практическому занятию № 7

[4] №: 695, 697, 699, 701, 703, 721, 723, 729,731а), в), Д)

контрольные вопросы:

- Сформулируйте теорему об устойчивости знака непрерывной функции

- Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса

- Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса

- Дайте определение точной верхней и точной нижней грани функции

- Справедливо ли утверждение: «Непрерывная на интервале функция ограничена на этом интервале»?

- Справедливо ли утверждение: «Ограниченная сверху(снизу) на множестве Х функция имеет на этом множестве точную верхнюю (нижнюю) грань»?

Задания № 7 к СРС

[4] №: 696, 698, 700, 702, 704, 722, 724, 730,731 б), г),

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 8: Производная и дифференциал функции Производные основных элементарных функций.

Производная и дифференциал функции одной переменной: их геометрический и механический смысл. Производные сложной, обратной функции и функции заданной в неявном виде. Производная функции заданной параметрической. Производные основных элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница для n-ой производной Логарифмическое дифференцирование.

Цели и задачи занятия:

- Формирование понятий производной и дифференциал функции.

Задания к практическому занятию № 8

[4] №: 834, 836, 838, 847, 863, 877, 881, 891 901, 918, 1036, 1040,1048, 1085, 1087

контрольные вопросы:

- Что называется приращением функции в точке?

- Дайте определение производной функции в точке

- Дайте определение дифференциала функции.

- Что такое односторонние производные функции в точке?

- Сформулируйте теорему о производной обратной функции.

- Сформулируйте теорему о производной сложной функции.

- Выведите формулы для производных суммы, разности, произведения и частного двух функций.

Задания № 8 к СРС

[4] №: 835, 837, 839, 848, 864, 878, 882, 892 902, 919, 1037, 1041, 1049, 1086, 1088

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 9: Основные свойства дифференцируемых функций.

Локальный экстремум. Теоремы Ферма, Лагранжа, Ролля, Коши.

Цели и задачи занятия:

- Научить распознавать свойства дифференцируемых функций.

Задания к практическому занятию № 9

[4] №: 1111, 1113, 1156, 1158,1140, 1268,1270,1300, 1302,1414, 1416

контрольные вопросы:

- Сформулируйте определение локального экстремума.

- Сформулируйте теорему Лагранжа

- Сформулируйте теорему Ролля

- Сформулируйте теорему Коши

Задания № 9 к СРС

[4] №: 1112, 1114, 1157, 1159,1141, 1269,1271,1301, 1303,1415, 1417

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 10: Формула Тейлора. Правило Лопиталя

Формула Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций. Оценка остаточного члена. Правило Лопиталя. Раскрытия неопределенностей

Цели и задачи занятия:

- Научить применять правило Лопиталя, воспроизводить формулу Тейлора.

Задания к практическому занятию № 10

[4] №: 1318, 1320, 1322, 1348, 1350, 1360, 1381, 1377, 1384

контрольные вопросы:

- Сформулируйте правила Лопиталя раскрытия неопределенности.

- Что такое многочлен Тейлора?

- Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом Лагранжа.

- Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом Пеано.

- Напишите формулу Маклорена.

Задания № 10 к СРС

[4] №: 1319, 1321, 1323, 1349, 1351, 1361, 1382, 1378, 1385

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 11: Исследование функции с помощью производных

Интервалы монотонности функции. Первое достаточное условие существование экстремума. Второе достаточное условие существование экстремума. Экстремум функции не дифференцируемой в данной точке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты. Полное исследование функции. Построение графика функции.

Цели и задачи занятия:

- Научить строить графики элементарных функций.

Задания к практическому занятию № 11

[4] №: 1471, 1473, 1475, 1477, 1479, 1481, 1483, 1500, 1510.

контрольные вопросы:

- Дайте определение вертикальной асимптоты и приведите пример.

- Дайте определение наклонной и горизонтальной асимптоты и приведите примеры к этим асимптотам.

- Дайте определение локального экстремума

- Сформулируйте теоремы, выражающие достаточные условия экстремума функции.

- Дайте определение направления выпуклости графика функции.

- Сформулируйте необходимое и достаточное условия перегиба графика функции.

- Приведите схему построения графика функции

Задания № 11 к СРС

[4] №:1472, 1474, 1476, 1478, 1480, 1482, 1484, 1501, 1511.

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 12. Определение и свойства неопределенного интеграла

Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Интегрирование заменой переменой. Интегрирование по частям.

Цели и задачи занятия:

- сформировать представление о неопределенном интеграле

- знакомить студентов основными методами интегрального исчисления

- воспроизводить таблицы интегралов

Методические указания: Обратите особое внимание на основные свойства неопределенного интеграла и на основные методы интегрирование

Задания к практическому занятию №12

[4] №: 1628, 1630, 1632,1722,1724,1792,1794,1766,1768,1776

контрольные вопросы:

1) Дайте определение первообразной функции.

2) Что называется неопределенным интегралом?

3) Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

4) Таблица основных неопределенных интегралов.

5) Охарактеризуйте следующие методы интегрирования:

а) непосредственное интегрирование;

б) интегрирование подведением под знак дифференциала;

в) интегрирование по частям;

д) метод подстановки (замены переменной).

Задания №12 к СРС

[4] №:1629,1631,1633,1723,1725,1793,1795,1767,1769,1777

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 13. Интегрирование рациональных дробей.

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Интегрирование рациональных дробей.

Цели и задачи занятия:

- выработать у студентов прочные знания по интегрированию рациональных дробей;

Методические указания: Обратите особое внимание на класс рациональных дробей, интегрируемых в элементарных функциях

Задания к практическому занятию №2

[4] №:1866,1868,1874,1892,1898,1904

контрольные вопросы:

1) Всякая ли рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях;

2) Почему исследуется вопрос об интегрировании только правильной дроби?;

3) Что значить выделить целую часть неправильной дроби?;

4) Что такое метод неопределенных коэффициентов?

5) По какой схеме проводится интегрирование рациональных дробей;

Задания №13 к СРС

[4] №:1867,1869,1875,1893,1899,1905

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 14. Интегралы от иррациональных функций

Интегралы от иррациональных функций

Цели и задачи занятия:

- выработать у студентов прочные знания по интегрированию иррациональных дробей;

Методические указания: Обратите особое внимание на иррациональные выражения, интегрируемых в элементарных функциях

Задания к практическому занятию № 14

[4] №:1926,1928,1938,1944,1962,1966

контрольные вопросы:

1) Какая подстановка рационализирует интеграл от дробно – линейной иррациональности?

2) По какой схеме проводится интегрирование выражений, содержащих иррациональности?

Задания № 14 к СРС

[4] №:1927,1929,1939,1945,1963,1967

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]

Занятие 15. Интегрирование тригонометрических и трансцендентных функций.

Интегрирование некоторых классов тригонометрических, трансцендентных функций.

Цели и задачи занятия:

- выработать у студентов прочные знания по интегрированию тригонометрических, трансцендентных функций.

Методические указания: Обратите особое внимание на тригонометрические выражения, интегрируемых в элементарных функциях

Задания к практическому занятию № 15

[4] №:1992,1994,1996,2014,2020,2026,2028,2070,2072

контрольные вопросы:

3) Назовите универсальную подстановку;

4) По какой схеме проводится интегрирование тригонометрических функций.

Задания № 15 к СРС

[4] №:1993,1995,1997,2015,2021,2027,2029,2071,2073

Основная литература: [1],[2],[3],[4],[7]

Дополнительная литература: [5],[6],[8]