Означення. Неперервні відображення зв'язаних просторів

Простори можуть становити дещо ціле (куля, Rⁿ), а можуть складатися з декількох частин (об’єднання двох сфер). В зв’язку з цим домовимося про деяку термінологію.

Означення. Топологічний простір називається зв'язаним, якщо його не можна розбити на дві відкриті (замкнуті) підмножини, які не перетинаються, або якщо в Е не існує одночасно відкритої і замкненої множини крім Е та Ø.

Теорема. Для того, щоб підмножина була зв'язним топологічним простором, необхідно і достатньо, щоб вона була відкритим, напіввідкритим, або замкненим інтервалом (можливо і нескінченним).

Доведення.

Необхідність. Нехай Е - зв'язна підмножина R¹, а . Покажемо, що . Якщо це не так, тo і . Тоді відкриті множини та перетинаються з Е, ділять Е на дві відкриті множини, які не перетинаються. Отже, множина Е - не зв'язна. Якщо , то Е співпадає з (де можливо і нескінченні).

Достатність випливає з означення.

Наслідок. Множина Q - не зв'язна.

Теорема. Образ зв'язного топологічного простору при неперервному відображені є зв'язним.

Доведення. Нехай , . Покажемо зв'язність F.

Якщо б було незв'язним, то - відкриті. Ø. і Ø Ø, Ø – відкриті,

Ø - незв'язаний простір, що й доводить теорему.

Наслідок. Якщо неперервна функція визначена на зв'язному просторі Е, із значеннями в R¹, то множина її значень є відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом в R¹.

Таким чином виконуються теореми:

Теорема (Больцано-Коші) 1. Нехай функція і неперервна на та , то , що .

Теорема (Больцано-Коші) 2. Нехай функція і неперервна на та , тоді між А і В , що .

Властивість проміжних значень ( необхідна умова неперервності функції на відрізку ).

Неперервна на відрізку функція своїми значеннями заповнює деякий відрізок.

Приклад того, що ця умова не є достатньою: функція має розрив у 2-го роду, але значеннями заповнює відрізок .