Теорема Больцано-Вєйерштрасса

Теорема. Для того, щоб метризований простір Е був компактним, необхідно і
достатньо, щоб будь-яка послідовність елементів з Е мала принаймні одну граничну точку (з будь-якої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність).

Доведення. Доведемо необхідність (котру будемо застосовувати нижче). Нехай простір Е компактний і .

Позначимо і - його замикання. утворюють спадну послідовність замкнених множин. Оскільки жодна з них не порожня, то Ø.

Нехай , з іншого боку , тобто , значить - гранична точка - гранична .

У випадку Е=R¹ або Rⁿ теорема звучить наступним чином:

Теорема. Больцано-Вєйерштрасса. Із будь-якої обмеженої послідовності в R¹ (або Rⁿ) можна виділити збіжну підпослідовність.

Це зрозуміло, оскільки обмежена послідовність у R¹ (Rⁿ) належить (паралелепіпед), а це компактна множина.