Зв’язні множини

1.1. Довести, за означенням, що множина не буде зв’язною.

1.2. Довести, що множина зв’язна.

1.3. Довести, що об’єднання двох зв’язних множин Е₁, Е₂ є множина зв’язна, якщо Ø

Властивості неперервних функцій.

2.1. Довести, що якщо функція неперервна в та існує скінчений то ця функція обмежена на даному проміжку.

2.2. Нехай функція визначена та монотонна на проміжку і множина її значень - проміжок. Довести, що ця функція неперервна.

2.3.Функції та g визначені і неперервні на та і . Довести, що існує така, що .

2.4 Функція неперервна та обмежена на , та не має границі при . Довести, що знайдеться число , для якого рівняння має нескінченно багато розв'язків.

2.5. 3найти всі неперервні на R функції , задовольняючі для будь-яких рівності .

Рівномірна неперервність.

3.1.Довести рівномірну неперервність функції на .

3.2. Довести, що сума скінченої кількості рівномірно неперервних на інтервалі функцій - рівномірно неперервна.

3.3. Довести, що якщо обмежена монотонна функція неперервна на , то ця функ­ція рівномірно неперервна на .

Завдання для самостійної роботи.

1. Функція неперервна на , та існують скінчені та Довести, що обмежена на .

2. Довести, що якщо функція визначена та неперервна на проміжку, то множина її значень проміжок (тобто відрізок, або інтервал, або напівінтервал).

Вказівка: застосуйте теорему про проміжне значення.

3. Нехай функція, визначена на відрізку неперервна та зворотня. Довести, що ця

функція строго монотонна на .

Вказівка: показати, що максимум та мінімум функція має на кінцях відрізку (із зворотності).

4. Довести, що рівняння має хоча б один корінь на (1;2).

5. Довести, що будь-який многочлен непарного ступеню має хоча б один дійсний корінь.

6. Довести, що якщо многочлен парного ступеню приймає хоча б одно значення, проти­лежне по знаку коефіцієнту старшого члену, то він має не менш як два дійсні корні.

7. Довести, що якщо функція неперервна на та - будь-які значення з , то між ними знайдеться число , таке, що

Вказівка: використати теорему про проміжне значення.

8. Нехай функція неперервна на та множина її значень належить . Довести, що існує таке, що .

9. Неперервні функції та g відображають відрізок на самого себе. Довести, що існує таке, що .

Вказівка: розглянути функцію .

10. Функція неперервна на R, та ( ()) для будь-якого . Довести, що існує точка с, в якій (c) = с.

Вказівка: показати що ствердження ()> або () < для всіх хибні.

11. Функція монотонна, неперервна на [0;l] та 0 () 1 для будь-якого .

Довести, що для будь-якого , послідовність збігається до одного з розв'язків рівняння .

12. Знайти всі неперервні на R функції, задовольняючі для будь-яких рівності .

13. Знайти всі неперервні на функції, задовольняючі для будь-яких рівності .

14. Знайти всі неперервні на функції, задовольняючі для будь-яких рівності .

15. Довести, що якщо на проміжку X задовольняє умові Ліпшица:

, то вона неперервна на X.

Довести рівномірну неперервність функцій:

16.

Вказівка: використати задачу 3.3.

17. () = sin ² = (-3;3]

18. Довести, що у = sin ² не є рівномірно неперервна функція на R.

19 Довести, що у = ² не є рівномірно неперервною.

20.Довести, що якщо функція рівномірно неперервна на проміжку, то вона неперервна на
цьому проміжку.

21. Довести, що якщо функція задовольняє умові Ліпшица на Х, то вона на X рівномірно
неперервна.

22. Довести, що якщо функція необмежена на обмеженому інтервалі, то вона не є рівномір­но неперервною на цьому інтервалі.

23. Довести, що якщо функція () рівномірно неперервна на обмеженій множині, то вона
обмежена на цій множині.

24. Довести, що якщо та g обмежені та рівномірно неперервні на , то g рівномір­но неперервна на .

25. Довести, що обмежена, монотонна, неперервна на інтервалі функція рівномірно
неперервна на цьому інтервалі.

26. Навести приклад двох зв’язних множин, перетин яких не є зв’язна множина.

27. Довести, що множина з зв’язна тоді і тільки тоді, коли будь-які дві точки з цієї множини можна з’єднати неперервною кривою, що цілком належить множині.

28. Довести, що якщо Е – зв’язна, то - зв’язна.

29. Довести, що відрізок, який з’єднує дві точки площини тривимірного евклідового простору – зв’язна множина.

30. Довести, що множина точок площини, у яких хоча б одна координата раціональна, зв’язна.