Збільшення суми грошей по мірі сплати процентів називають нарощуванням або зростанням первинної суми

МАЙБУТНЯ ВАРТІСТЬ (FV)

Процес збільшення суми боргу з нарахованими простими процентами описується арифметичною прогресією із загальним членом:

Р х (1 + n q), (6.2)

де n - число періодів, через яке здійснюється виплата боргу.

Процес зростання суми боргу по простих процентах графічно зображається у вигляді прямої лінії:

На практиці нерідко процентна ставка міняється в залежності від періоду її застосування, в цьому випадку сума боргу розраховується по наступній формулі:

FV =å Р (1 +q к nк), (6.3)

де: qk - ставка простих процентів для періоду k = 1, m;

nk - тривалість періоду k.

Приклад: Фірма отримала позику під капітальні вкладення в розмірі 7000000 грош.од. під 4% річних на термін 4 роки. У цьому випадку сума, що підлягає до погашенню до моменту закінчення чотирьох років, повинна скласти FV = 7000000(1+4х0,04) = 8120000 грош.од. Після чотирьох років термін погашення був перенесений ще на два роки з умовою виплати 10% річних. Загальна сума боргу повинна вже досягнути FV = 7000000(1+4х0,04+2х0,10) = 9520000 грош.од.

Часто укладаються операції, в яких обмовляється вилучення суми процентів з позики, що видається. По заданій сумі, яку потрібно сплатити через обумовлений в договорі термін, визначається розмір позики при обумовленому позиковому проценті. У такому випадку вважається, що розмір позики дисконтується. Різниця між сумою боргу і розміром позики називається дисконтом. У дисконтних розрахунках використовують математичне або банківське (комерційне) дисконтування, математичне дисконтування застосовують в операціях, при яких по сумі боргу (сумі оплати операції), позиковій ставці (ставці прибутку) потрібно визначити первинний розмір позики (об'єм операції):

P= FV/(1+ q n), (6.4)

де Р - розмір позики (об'єм операції);

FV - сума боргу (сума оплати операції);

q - позикова ставка (ставка прибутку по операції);

n - число періодів нарахування процентів по операції.

Величину Р називають врахованою або дисконтованою.

Приклад: 100 000 грош.од. потрібно сплатити через 4 місяці з розрахунку простих щомісячних 5%, при цьому прибуток кредитора з позики вилучається. У цьому випадку сума позики повинна складати: Р = 100000 грош.од./(1+4х0,05) = 83333 грош.од.

Банківський (комерційний) облік використовується при операціях з векселями і іншими короткостроковими зобов'язаннями. У подібних операціях фінансовий посередник купує фінансове зобов'язання до настання терміну його платежу на суму, меншу тією, по якій повинна наступити оплата в певний термін. Привабливість даної операції для сторін полягає в тому, що посередник таким чином реалізовує дисконт, а власник зобов'язання має можливість отримати борг раніше обумовленого терміну.

При обліку векселі й банк нараховує проценти на суму, яку повинен виплатити боржник в кінці терміну позики. Облікова ставка банку розраховується по формулі:

d = (FV - Р)/ S, (6.5)

де d - облікова ставка банку;

FV - сума, що підлягає погашенню по векселю;

Р - сума векселя.

При цьому ставка процента за векселем

i = (FV - Р)/Р, (6.6)

З формул 6.5, 6.6 витікає, що розмір дисконту, що втримується банком за облік векселя, буде рівний Snd, звідси:

Р = FV -FVnd = FV(1-nd)

FV = Р/(1-nd). (6.7)

З формули 1.6 витікає, що при n > 1/d величина Р стає негативною, тобто при великому терміні сплати по векселю дисконт може привести до негативної суми Р.

При аналізі інвестиційних рішень прийнято використовувати складні проценти. Складним процентом називається сума прибутку, яка утвориться внаслідок інвестування грошей при умові, що сума нарахованого простого процента не виплачується в кінці кожного періоду, а приєднується до суми основного внеску і в наступному платіжному періоді сама приносить прибуток. Ріст по складних відсотках являє собою геометричну прогресію з загальним членом у виді:

P (1 + q) ⁿ. (6.8)

Приклад: Позика у 1000 грош.од.. видана на трі рока зі ставки 17% річних. Нарощена сума на момент погашення складе:

S = 1000 грош.од. (1+0,17) = 1000х1,6016 = 1601,6 грош.од.

Виходячи з 6.8, нарощена сума складе:

S = P (1 + q) ⁿ. (6.9)

Геометричну інтепретацію нарощування по простих і складних відсотках можна проілюструвать графіком:

Графік показує, що при n<1 нарощування по простих відсотках відбувається швидше, чим по складним. Чим більше n, тим швидше відбувається нарощування капіталу.

Приклад: Капітал у 1000 грош.од. при 5% складних через 10 і 100 років дає 1629 і 131500 грош.од. відповідно.

Аналогічно дисконтуваню по простих відсотках розраховується дисконт по складних:

, (6.10)

n

Вираження V= 1/ (1+ q)ⁿ називається дисконтним множником, після його підстановки у формулу 6.10 вона набуває вигляд:

n

P = S V (6.11)

Дисконтні множники часто видаються у виді таблиць, що спрощує проведення розрахунків. Таблиці для фінансових обчислень розроблені звичайно до восьмого або десятого знака. При відсутності табличних значень дисконтний множник визначається шляхом логарифмування.

Приклад: Потрібно визначити сучасний розмір платежу для нарощеної суми в 1200 грош.од, яка буде отримана через три роки при річній процентній ставці, рівній 10%:

грош.од.