Кратные интегралы

Пусть функция f (x, y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости . Разобьем область D на элементарных областей, имеющих площади D s ₁, D s ₂, …, D s_п и диаметры d ₁, d ₂, …, d_п.

Выберем в каждой элементарной области произвольную точку Р_к (x_к, h_к) и умножим значение функции в этой точке Р_к на площадь области.

называетсяинтегральной суммой.

Двойным интеграломот функции f (x, y) по области D называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший из диаметров областей ®0.

Двойной интеграл обладает свойствами:

1. .

2. .

3. Если , то

.

В декартовых координатах двойной интеграл записывается в виде .

Рассмотрим вычисление двойных интегралов. Пусть область D расположена в пределах по оси ОХ

Двойной интеграл можно записать через повторные интегралы:

,

причем сначала вычисляется

где переменная считается постоянной.

Пусть область D расположена в пределах по оси ОУ.

Двойной интеграл запишется через повторные интегралы:

,

где сначала вычисляется

,

здесь переменная считается постоянной.

Пусть функция f (x, y, z) определена в ограниченной замкнутой пространственной области Т. Разобьем область Т на п элементарных областей Т ₁, Т ₂,…, Т_п с диаметрами d ₁, d ₂,…, d_п и объемами D V ₁, D V ₂, …, D V_п. В каждой элементарной области возьмем произвольную точку Р_к (x_к, h_к, z_к) и умножим значение функции в точке Р_к на объем этой области.

Интегральной суммой для функции f (x, y, z) по области Т называется сумма вида .

Тройным интегралом от функции f (x, y, z) по области Т называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший из диаметров элементарных областей стремится к нулю: .

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

В декартовых координатах тройной интеграл записывается в виде: .

Пусть область интегрирования Т определяется неравенствами: х ₁ £ х £ х ₂; у ₁(х) £ у £ у ₂(х), z ₁(х, у) £ z £ z ₂(х, у), где у ₁(х), у ₂(х), z ₁(х, у) и z ₂(х, у) – непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функции f (x, y, z) вычисляется по формуле: .

Контрольные вопросы

1. Как определяется максимум и минимум функции двух аргументов?

2. Назовите необходимые и достаточные условия экстремума функции двух аргументов.

3. По какому алгоритму находится экстремум функции двух аргументов?

4. Приведите пример нахождения экстремума функции двух аргументов в экономике.

5. Что такое двойной интеграл?

6. Что такое тройной интеграл?