Двух аргументов. Исследование функции двух переменных на экстремум можно проводить по следующему алгоритму:

Исследование функции двух переменных на экстремум можно проводить по следующему алгоритму:

1) найти частные производные и ;

2) решить систему уравнений

и найти критические точки функции ;

3) найти частные производные второго порядка , , . Вычислить значения этих частных производных в критической точке, то есть , , и . Сделать вывод о наличии экстремумов. Если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при . Если , то в точке экстремума нет.

4) найти экстремумы функции, подставив координаты точки экстремума в выражение для функции .

Например, найти экстремум функции . Согласно указанной схеме, имеем:

, .

Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений

Решениями системы являются следующие значения , . Следовательно, – точка возможного экстремума.

Затем найдем вторые частные производные и значение для выражения :

.

Так как Δ=3>0 и =2>0, то в точке данная функция имеет минимум. Вычисляем минимальное значение функции в точке . Получаем:

.

Рассмотрим пример задачи нахождения экстремума функции двух аргументов, возникающих в экономике.

Пример. Фирмой производится два вида товаров в количестве и . Стоимость единицы каждого товара равна соответственно 8 и 10 (усл. ден. ед.), а функция затрат имеет вид . Определить максимальную прибыль фирмы.

Решение. Функция прибыли является функцией двух аргументов и и имеет вид:

.

Исследуем эту функцию двух аргументов на экстремум. Имеем:

и .

Решением системы уравнений

будет точка с координатами .

Найдем вторые частные производные функции прибыли и значение для выражения : , . . . Так как , а , то точка с координатами определяет локальный максимум функции прибыли. Найдем эту прибыль

(усл. ден. ед.).