Максимум и минимум функции двух аргументов

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки . На рисунке в точке функция имеет максимум, а в точке – минимум.

Максимум или минимум функции двух переменных называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума функции двух аргументов выражает следующая теорема.

Теорема. Пусть точка есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Следующая теорема выражает достаточное условие экстремума функции двух аргументов.

Теорема. Пусть функция определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка; значения которых в точке следующие . . . Тогда, если , функция имеет экстремум, причем если – максимум, если – минимум. В случае если , функция экстремума не имеет. Если , то ответа не получаем.

Обратим внимание на локальный характер экстремума функции, так как речь идет о максимальном и минимальном значении функции лишь в достаточно малой окрестности точки