Задачи. 5.2. В рассматриваемом технологическом процессе в среднем 75% изделий имеет допуск ± 5%

5.1. Вероятность того, что покупателю обуви необходимы туфли 43 – го размера, равна 0,15. Оценить границы процента покупателей среди 2000 побывавших в магазине, которым нужен такой размер, если границы надо гарантировать с вероятностью 0,98.

5.2. В рассматриваемом технологическом процессе в среднем 75% изделий имеет допуск ± 5%. Оценить вероятность того, что среди 2000 изделий указанный допуск имеют от 1450 до 1550 изделий.

5.3. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты изделий высшего сорта от вероятности изделий высшего сорта, равной 0,9, не превысит 0,01?

5.4. Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной, среднее квадратическое отклонение которой равно 10000 л. Оценить вероятность того, что расход воды в этом пункте в течение дня отклоняется от математического ожидания по абсолютной величине более чем на 25000 л.

5.5. Оценить вероятность того, что в течение ближайшего дня потребность в воде в населенном пункте превысит 150000 л, если среднесуточная потребность в ней составляет 50000 л.

5.6. При установившемся технологическом процессе производится 98% изделий первого и 2% второго сорта. Какова вероятность того, что среди

10000 наугад взятых изделий не более 235 окажется второго сорта?

5.7. Норма высева зерна на 1 га равна 150 кг. Фактический расход на 1 га колеблется около этого значения. Случайные отклонения характеризуются средним квадратическим отклонением в 10 кг. Полагая, что норма высева – случайная величина, распределенная нормально, найти:

а) вероятность события = { расход семян на 100 га не превысит 15,1 т };

б) массу семян, которая обеспечивает посев площади в 100 га с вероятностью 0,95;

5.8. Методом проб установлено, что потери зерна при уборке в среднем составляют 3 г на 1 м ; среднее квадратическое отклонение равно 1г. Найти:

а) вероятность события = { на 1 га потери составят не менее чем 29,8 кг};

б) величину, которую с вероятностью 0,99 не превысят потери на 1 га.

Считать, что X (потери зерна) есть нормально распределенная случайная величина.

5.9. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность события A = { по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов }:

а) если информация о дисперсии отсутствует;

б) если дисперсия равна 4;

в) если число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации, подчиняется закону распределения Пуассона с параметром = 5.

5.10. В страховой компании застраховано 10000 автолюбителей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,006. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 12 долл. страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 1000 долл. Найти вероятность:

а) события A = { по истечении года работы страховая компания потерпит убыток};

б) события = { страховая компания получит прибыль не менее m долл.}, если m = 40000; 60000; 80000.

5.11. Среднее число вызовов на АТС за 1 минуту равно = 20 = M(X). Найти вероятности следующих событий: A = { X 20}; B = {10 X < 30}.

5.12. Рабочий изготавливает штучные изделия. Время изготовления – случайная величина, распределенная по показательному закону. Найти вероятность того, что на изготовление 100 изделий рабочему понадобится от 5 до 6 часов, если среднее время, необходимое для изготовления каждого изделия, равно 3 мин. и не зависит от времени изготовления других изделий.

Ответы.

1.1 24. 1.2 10; 20. 1.3 720. 1.4 125970; 56. 1.5 720.

2.7 0,6; 0,25. 2.8 1) 0,018; 2) 0,268. 2.9 0,42. 2.10 0,181. 2.11 0,094. 2.12 0,14. 2.13 а) 0,319; б) 0,504; в) 0,176. 2.14 0,1083. 2.15 а) 0,995; б) 0,14. 2.16 а) 0,0553; б) 0,00018. 2.17 0,292. 2.18 а) 0,512; б) 0,488. 2.19 0,927. 2.20 0,84. 2.21 0,167. 2.23 0,574. 2.24 0,003. 2.25 0,0826. 2.26 2; 0,296. 2.27 0,0062. 2.28 0,1057. 2.29 0,9175. 2.30 а) 0, 0207; б) 1. 2.31 0,9442. 2.32 0,9175.

3.1 M (X)=6; D (X)=6.

3.2

X
P (X = x)	0,0004	0,0104	0,0964	0,3744	0,5184

3.3 а) 0,036; в) M (X)=2; D (X)=2.

3.4

X
P (X = x)	0,859	0,133	0,0008	25×	4×	24×

3.5 0,014. 3.6 0,0952. 3.7 0,062. 3.9 0,427. 3.10 0,5505. 3.11 x = . 3.12 0,085. 3.13 а) 0,0027; б) 0,0027. 3.14 а) 41,3%; б) 46,88%. 3.15 M (X)=1,5мин.; D (X)=0,75 . 3.16 б) 0,67

4.3 в)

X						Y
Pi.	0,694	0,278	0,028	1,0		P.k	0,25	0,50	0,25	1,0

г) 0,44.

4.4 б)

X 1						X 2
Pi.	0,3	0,2	0,5	1,0		P.k	0,3	0,2	0,5	1,0

4.5 б)

X 1						X 2
Pi.	0,3	0,2	0,5	1,0		P.k	0,3	0,2	0,5	1,0

в) –0,105.

5.1 [9,4%; 20,6%]. 5.2 0,85. 5.3 n ≥ 18000. 5.4 p ≤ 0,16. 5.5 p ≤ 0,33. 5.6 0,9934. 5.7 а) 0,8413; б) 15165. 5.8 а) 0,9772; б) 30,233 кг. 5.9 а) p ≥ 0,66; б) p ≥ 0,96; в) 0,994. 5.10 а) 0; б) 0,995; 0,5; 0,005. 5.11 а) 0,5; б) 0,9742. 5.12 0,4772.