Вероятности в независимых испытаниях

Обозначим через вероятность того, что относительная частота “успехов” в n испытаниях Бернулли отклонится от вероятности “успеха” p не более, чем на >0. Имеем

P (½ - p ½ ) = .

Если n достаточно велико, то величина имеет стандартное нормальное распределение N (0,1). Воспользуемся формулой Муавра – Лапласа

P ( ) » F () – F () и запишем

= P (– n n) = P (– ) »

F ( ) – F (- )= 2 F ( ).

Это равенство содержит четыре параметра: n, p, , . Зная три из них, можно найти четвертый. Пусть, например, известны p, и . Определим n, воспользовавшись выведенной формулой F () = , где = – квантиль нормального распределения, отвечающая уровню вероятности . Так как F() монотонно возрастающая функция, то , откуда

n pq . Если p неизвестно, то воспользуемся тем, что pq . Тогда

n .

Пример. Для определения доли избирателей, поддерживающих кандидата A, производится выборочное обследование. Определить объем выборки, при которой с вероятностью, не меньшей 0,99, погрешность составит менее 0,05.

Решение. По условию задачи = 0,99, = 0,05. Вероятность p неизвестна. Воспользуемся формулой n = 665,64» 666.

Вопросы для самопроверки.

1. В чем заключается сущность закона больших чисел?

2. Как записывается неравенство Чебышева? В чем его смысл?

3. Чем отличается обычное понятие предела от предела по вероятности?

4. Сформулируйте и докажите теорему Чебышева.

5. Какое практическое значение имеет теорема Чебышева?

6. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли, связывающую вероятность со бытия с его частотой.

7. В чем особенности нормального распределения по сравнению со всеми другими распределениями?

8. В чем заключается сущность центральной предельной теоремы?

9. Приведите примеры задач, при решении которых применяется теорема Муавра – Лапласа.