Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин

Для кол-енного описания связи между двум.с.в.,вводят ковариацию и коэф.корреляции.

Опр. Ковариация Kxy с.в.X и Y;наз-ся м.о.произведения отклонения этих с.в.от своих м.о.

Т.ф-ля д/выч.ковариации

Ковариация XY равна м.о.их произведения минус произ.их м.о.

Kxy=M(XY)- M(X)M(Y)

Док. Пусть M((X)=a M(Y)=b тогда

Следствие.сли X Y назависимы, то их ковариация равна нулю

К недостаткам ковариации относят то,что это размерная величина и поэтому харак-ет не только степень связи между компонентами, но и разброс значений компонентов. Поэтому вводят коэф.кор.

Опр.Коэф.кор.двух.с.в.(X,Y) наз-ся отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих с.в.

Св-ва:1. [-1,1] -1≤ρxy≤1

2. Если X Y независ. То ρxy=0

3. Если , то между вел.X Y сущ.функциональная зависимость

При ρ=1

При ρ=1

Для того что бы найти коэф.кор.по табл.распр.двум.с.в.надо:

1.

2. найти одномер.распр.X Y

3. по одномер распр найти: M(X),M(Y),D(X),D(Y)

4.Найти коэф.кор.по ф-ле:

Заменяя в последнем выражении входящие величины на их выборочные оценки, получаем формулу для вычисления выборочного коэфф-нта корреляции r:

-выбо-

рочная ковариация, т.к. , ; ;

, «+»,если ; «-» если

.Если r>0,то связь между переменной называется прямой.Если r<0- связь называется обратной. Связь между переменными признается тесной, если |r|³0,7; умеренной если 0,4£|r|£0,7; слабой если |r|<0,4. Основное св-во коэфф-та корреляции: |r|£1.; Предельное значение коэфф-та корреляции: 1) |r|=1,т.и т.т.к. byx*bxy=1 => прямые регрессии совпадают. 2) r=0 т.и т.т.к. µ=0 ó byx=0 и bxy=0 => прямые регрессии перпендикулярны.; Если r=0 то говорят, что между переменными х и у отсутствует линейная корреляционная зависимость.