Довірчі інтервали для оцінки параметрів нормального розподілу

Припустимо, що кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. Розглянемо задачі побудови довірчих інтервалів для параметрів її розподілу.

4.1. Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому середньому квадратичному відхиленні s

Припустимо, що вибірку взято із нормального розподілу, середнє квадратичне відхилення якого відоме. Необхідно оцінити невідоме математичне сподівання a за вибірковим середнім , тобто знайти довірчі інтервали, які покривають параметр a з надійністю g.

Цю задачу можна розв’язати за допомогою такої робочої формули:

,

де – вибіркове середнє, n – обсяг вибірки, s – відоме середнє квадратичне відхилення.

Число t визначається з рівності: 2Ф(t) = g або Ф(t) = g /2, за допомогою таблиць функції Лапласа (табл. 2 додаток 1). Таким чином, з надійністю g можна стверджувати, що довірчий інтервал покриває невідомий параметр a; при цьому отримана точність оцінки .

П р и к л а д 7.6.

Випадкова величина Х – розподілена нормально, її середнє квадратичне відхилення s = 3. Знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання a, якщо відомі: вибіркове середнє , обсяг вибірки n = 36 і надійність оцінки g = 0,95.

Р о з в ‘ я з у в а н н я

Довірчий інтервал має такий вигляд:

.

Усі величини, крім t, в цій формулі відомі, отже, визначимо цю величину:

.

Із табл. 2 (додаток 1) знаходимо, що t = 1,96. Підставляючи у формулу довірчого інтервалу числові значення: t = 1,96, n = 36, і s = 3, отримуємо остаточний результат:

4,02 < a < 5,98.

4.2. Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому середньому квадратичному відхиленні s

Припустимо тепер, що вибірку взято із нормального розподілу, параметр s якого невідомий. Тобто необхідно оцінити невідоме математичне сподівання a за допомогою довірчих інтервалів, якщо відомі вибіркове середнє та виправлене середнє квадратичне відхилення s.

Довірчий інтервал у цьому випадку можна побудувати, використовуючи розподіл Стьюдента. Він має такий вигляд:

де – вибіркове середнє, s – виправлене середнє квадратичне відхилення, n – обсяг вибірки; величину за відомими значеннями n та g беруть з таблиці (табл. 3, додатка 1).

Зауважимо, що довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання використовуються при оцінці дійсного значення вимірюваної величини.

П р и к л а д 7.7. За даним 25 незалежних вимірювань фізичної величини отримано середнє арифметичне результатів вимірювань: = 48,215 та виправлене середнє квадратичне відхилення: s = 3,0. Необхідно оцінити дійсне значення вимірюваної величини із надійністю g. Прийняти, що g = 0,95.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Дійсне значення вимірюваної величини дорівнює її математичному сподіванню. Тому задача полягає в оцінці математичного сподівання за допомогою довірчого інтервалу. Оскільки значення невідоме, то використовуємо таку формулу: .

Для знаходження інтервалу спочатку відшукаємо значення величини t_g, за умов, що g = 0,95 і n = 25. З табл. 3 (додаток 2) маємо, що t_g = 2,064.

Визначаємо точність оцінки таким чином:

.

Тепер визначимо границі довірчого інтервалу:

Отже, встановлено, що із надійністю 0,95 довірчий інтервал:

46,9766 < а < 49,4534,

містить у собі дійсне значення вимірюваної величини.

4.3. Довірчі інтервали для оцінки середнього квадратичного відхилення σ нормального розподілу

Припустимо, що кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. Необхідно оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення σ за “виправленим” вибірковим середнім квадратичним відхиленням s.

Довірчі інтервали, що покривають параметр σ із даною надійністю g, визначають за такою формулою:

(7.1)

де s – виправлене середнє квадратичне відхилення, а величину q за відомими значеннями n та g знаходять із таблиці (табл. 4, додатка 1).

Довірчі інтервали для оцінки σ використовують для оцінки точності вимірювань.

П р и к л а д 7.8. За 20 рівноточними вимірюваннями встановлено, що виправлене середнє квадратичне відхилення s = 0,22. Оцінити точність вимірювань із надійністю 0,99.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Точність вимірювань описується середнім квадратичним відхиленням σ випадкових помилок, тому необхідно побудувати довірчий інтервал, що покриває параметр σ із заданою надійністю, для цього використовуємо формулу (7.1).

Зважаючи на вхідні дані: n = 20 та g = 0,99, знаходимо, що q = 0,58 (табл. 4, додатка 1).

Тоді шуканий довірчий інтервал набуває такого вигляду:

0,22(1 – 0,58) < σ < 0,22(1 + 0,58),

0,0924 < σ < 0,3476.