Функція розподілу двовимірної випадкової величини

Розглянемо двовимірну випадкову величину (дискретну або неперервну).

Функцією розподілу двовимірної випадкової величини (Х, Y) називають функцію F (x, y), яка для кожної пари значень аргументів (x, y) дорівнює ймовірності того, що випадкова величина Х набуде значення, меншого за х, і при цьому випадкова величина Y набуде значення, меншого за y, тобто

Геометрично це означає, що F (x, y) – це ймовірність того, що випадкова точка (Х, Y) попадає у нескінченний квадрат з вершиною (x, у), який розташований нижче та лівіше цієї вершини (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Геометрична інтерпретація функції розподілу двовимірної випадкової величини

Функція розподілу двовимірної випадкової величини має такі властивості:

1. Значення функції розподілу задовольняють таку подвійну нерівність:

2. F (X,Y) – неспадна за кожним аргументом.

3. Виконуються такі граничні співвідношення:

4. Якщо y = +¥, то функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Х,а саме:

.

5. Якщо х = +¥, то функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Y, тобто

.

Використовуючи функцію розподілу системи випадкових величин X та Y, можна обчислити ймовірність того, що внаслідок випробування випадкова точка попаде у півсмугу (x ₁ < X < x ₂ та Y < y), як показано на рис. 6.2.

Із графіка видно, що цю ймовірність можна обчислити за такою формулою:

Рис. 6.2. Графічна інтерпретація ймовірності попадання випадкової точки у вертикальну півсмугу

Для випадку, коли в результаті випробувань точка попадає у півсмугу (див. рис. 6.3), то аналогічно обчислюємо, що

Таким чином, імовірність попадання випадкової точки в півсмугу дорівнює різниці функцій розподілу за одним з аргументів.

Рис. 6.3. Геометрична інтерпретація ймовірності попадання випадкової точки у горизонтальну півсмугу

Обчислимо тепер імовірність попадання випадкової точки у прямокутник.

Для цього розглянемо прямокутник АВСD, сторони якого паралельні координатним осям (рис. 6.4). Нехай рівняння його сторін x = х ₁, x = х ₂, y = y ₁, y = y ₂.

Рис. 6.4. Імовірність попадання випадкової точки в прямокутник

Визначимо ймовірність попадання випадкової точки у цей прямокутник, використовуючи ймовірності її попадання у півсмугу (вертикальну або горизонтальну).

Таким чином:

Розкриваємо дужки і формула набуває такого вигляду:

(6.1)

П р и к л а д 6.2

Знайти ймовірність попадання випадкової точки (x,y) у прямокутник, обмежений такими прямими: х = p /6; х = p /2; у = p /4; у = p /3, якщо

, коли .

Р о з в ’ я з у в а н н я

Використовуючи отриману формулу (6.1), робимо обчислення: