Щільність спільного розподілу двовимірної випадкової величини

Щільністю спільного розподілу ймовірностей f(x,y) двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) називають другу змішану похідну від функції розподілу, тобто

(6.2)

Геометрично таку функцію можна подати як поверхню, називану поверхнею розподілу.

П р и к л а д6. 3.Функцію розподілу двовимірної випадкової величини задано такою формулою: , якщо .

Знайти щільність спільного розподілу.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Використовуємо формулу (6.2).

Знайдемо частинну похідну за х:

Візьмемо від отриманого результату похідну за y:

, якщо .

Відповідь: , якщо .

Зауважимо, що щільність спільного розподілу двовимірної випадкової величини має такі властивості:

1. .

Ця властивість випливає із визначення щільності спільного розподілу і другої властивості функції розподілу двовимірної випадкової величини.

2.

Ця властивість є узагальненням (на випадок двох вимірів) аналогічної властивості диференціальної функції розподілу одновимірної випадкової величини. Вона означає, що об’єм, обмежений поверхнею розподілу, завжди дорівнює одиниці.

Знаючи щільність спільного розподілу f (x, y) можна знайти функцію розподілу F (x, y) за такою формулою: