Розподіл суми двох незалежних доданків

Якщо кожній парі можливих значень випадкових величин Х та Y відповідає одне можливе значення випадкової величини Z, то Z називають функцією двох випадкових аргументів X та Y і записують таким чином:

Визначимо розподіл функції: Z = Х + Y, користуючись відомими розподілами доданків. Розглянемо два випадки.

1. Нехай Х та Y – дискретні незалежні випадкові величини. Для того щоб скласти закон розподілу функції Z = X + Y необхідно визначити всі можливі значення Z та їх імовірності. Розглянемо алгоритм обчислення на прикладі.

П р и к л а д. Дискретні незалежні випадкові величини задані своїми законами розподілу:

Х
Р	0,4	0,6

Y
Р	0,3	0,7

Визначити розподіл випадкової величини: Z = X + Y.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Можливі значення Z – це суми кожного можливого значення Х із усіма можливими значеннями Y, тобто

Обчислимо ймовірності цих можливих значень. Для того щоб величина Z набула значення 4, достатньо, щоб величина Х набула значення 1 і величина Y – значення 3. Імовірності цих значень відомі за умовами. Це 0,4 та 0,3. Аргументи Х та Y незалежні, тому події: Х = 1 та Y = 3, також незалежні, і тоді ймовірність їх одночасної появи (тобто ймовірність події: Z = 1 + 3 = 4) за теоремою множення 0,4×0,3 = 0,12.

Аналогічно визначимо, що

P (Z = 1 + 4 = 5) = 0,4×0,7 = 0,28,

P (Z = 2 + 3 = 5) = 0,6×0,2 = 0,12,

P (Z = 2 + 4 = 6) =0,6×0,8 = 0,48.

Зауважимо, що ймовірність події: Z = 5, є сумою ймовірностей незалежних подій: Z = 1 + 4 = 5 та Z = 2 + 3 = 5,

тобто

= 0, 28 + 0,12,

Це дозволяє нам скласти шуканий закон розподілу:

Z
Р	0,12	0,4	0,48

Виконаємо перевірку:

2. Припустимо, що Х та Y – неперервні випадкові величини.

Якщо Х та Y незалежні, то щільність розподілу g (z) суми: Z = X + Y (за умови, що щільність хоча б одного з аргументів задана на інтервалі (-¥, +¥) однією формулою) може бути визначена за допомогою однієї з таких формул:

або

Щільність розподілу суми незалежних випадкових величин називають композицією.

Закон розподілу ймовірностей називають стійким, якщо композиція таких законів являє собою той самий закон (але він може мати інші параметри). Нормальний закон розподілу має властивість стійкості: композиція нормальних законів також має нормальний розподіл, при цьому математичне сподівання та дисперсія цієї композиції дорівнює відповідно сумам математичних сподівань і дисперсій доданків.