Функція одного випадкового аргументу та її розподіл

Якщо кожному можливому значенню випадкової величини Х відповідає одне можливе значення випадкової величини Y, то Y називають функцією випадкового аргументу Х, і пишуть: .

Знайдемо розподіл функції за відомим розподілом аргументу. Розглянемо два випадки.

1. Припустимо, що Х – дискретна випадкова величина.

а) Якщо різним можливим значенням аргументу Х відповідають різні можливі значення функції Y, то ймовірності відповідних значень Х та Y рівні між собою.

П р и к л а д 5.2. Дискретна випадкова величина Х задана таким розподілом імовірностей:

Х
р	0,2	0,3	0,5

Визначити розподіл функції: Y = X ².

Р о з в ’ я з у в а н н я

Обчислимо можливі значення Y: y ₁ = 1² = 1, y ₂ = 2² = 4, y ₃ = 3² = 9.

Запишемо шуканий розподіл імовірностей

Y
р	0,2	0,3	0,5

б) Якщо можливим значенням Х відповідають значення Y, серед яких є рівні між собою, то необхідно додавати ймовірності значень Y, що повторюються.

П р и к л а д 5.3. Дискретна випадкова величина Х задана таким розподілом ймовірностей:

Х	–2
р	0,2	0,4	0,4

Визначити розподіл функції: Y = X ².

Р о з в ’ я з у в а н н я

Випадкова величина Y може набути можливого значення 4, якщо настане одна з несумісних подій: Х = – 2 або Х = 2. Тому ймовірність цього значення можна обчислити таким чином: 0,2 + 0,4 = 0,6. Імовірність того, що Y набуде значення 9 становить 0,4. Отже, шуканий розподіл Y має такий вигляд:

Y
р	0,6	0,4

2. Нехай аргумент Х – неперервна випадкова величина.

Якщо функція Y = j (Х), диференційована, строго зростаюча або строго спадна, а функція x = y (Y), обернена до неї, тощільність розподілу g (y) випадкової величини Y можна визначити за допомогою такої рівності:

(5.3)

де f (x) – щільність розподілу випадкової величини Х.

П р и к л а д 5.4. Нехай випадкова величина Х розподілена нормально з такими параметрами: а = 0 та s. Визначити розподіл функції: Y = X ³.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Оскільки функція y = x ³, диференційована і строго зростає, то ми можемо скористатися формулою (5.3).

Визначимо функцію, обернену до функції: y = x ³, а саме:

Визначимо f [ y (y)]. За умовами задачі

тому .

Знайдемо похідну функції y (у) за у, а саме:

.

Визначимо шукану щільність розподілу, для чого підставимо f [ y (y)] та y′ (у)у формулу (5.3), тоді

Математичне сподівання функції одного аргументу

Нехай задано функцію: Y = j (Х), випадкового аргументу Х. Необхідно знайти математичне сподівання цієї функції, знаючи закон розподілу аргументу. Так само, як і для закону розподілу розглянемо два випадки.

1. Нехай аргумент Х – дискретна випадкова величина з можливим значеннями х ₁, х ₂,…, х_n, імовірності яких відповідно дорівнюють р ₁, р ₂… р_n.

Зрозуміло, що Y – також дискретна випадкова величина, можливі значення якої у ₂ = j (х ₂),… у_n = j (х_n). Оскільки подія “величина Х набула значення х_і ” тягне за собою подію “величина Y набула значення j (х_і)”, то ймовірність можливих значень Y відповідно дорівнюють р ₁, р ₂… р_n. Таким чином, математичне сподівання функції

.

П р и к л а д 5.6. Дискретна випадкова величина Х задана таким розподілом:

Х
р	0,2	0,5	0,3

Визначимо математичне сподівання функції:

Р о з в ’ я з у в а н н я

Обчислимо можливі значення випадкової величини Y:

Тоді шукане математичне сподівання

2. Нехай аргумент Х являє собою неперервну випадкову величину із щільністю розподілу f (x).

Для того, щоб визначити математичне сподівання функції: Y=j (Х), можна спочатку знайти щільність розподілу g (y) величини Y, а потім скористатися формулою для обчислення математичного сподівання:

.

Якщо ж визначення функції g (y) є дуже складним, то можна безпосередньо знайти математичне сподівання функції j (X) за такою формулою:

(5.4)

Зокрема, якщо можливі значення Х належать до інтервалу (а, b), то

П р и к л а д 5.7. Неперервна випадкова величина Х має таку щільність розподілу: на інтервалі , а зовні від цього інтервалу f (х) = 0. Знайти математичне сподівання функції: .

Р о з в ’ я з у в а н н я

Скористаємось формулою (5.4). За умовами задачі на інтервалі ; , тобто a = 0, , таким чином,

Беручи інтеграл за частинами, отримуємо такий результат: .