Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Для того, чтобы число было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы могло быть представлено в виде ,где - бесконечно малая последовательность.

Определение 2. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа существует номер , зависящий от этого числа, такой, что для любого номера верно неравенство: , в этом случае пишут: .

Теорема 4. Если последовательность , где , бесконечно большая, то последовательность бесконечно малая и наоборот, если последовательность бесконечно малая, то последовательность бесконечно большая.