Последовательность и ее предел

Определение 1. Если каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в определенное действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность . Числа: называются членами последовательности, называют общим членом последовательности.

Для краткости последовательность часто обозначают .

Определение 2. Число называется пределом последовательности , если для любого (хотя бы и как угодно малого) положительного числа существует такой номер , что все члены последовательности с номерами удовлетворяют неравенству .

То, что есть предел последовательности , записывают так: или .

Определение 3. Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся, если она предела не имеет.

Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность ограничена, то есть существуют такие числа

и , что для всех членов последовательности верно неравенство: .

Определение 4. Последовательность называется неубывающей, если

Определение 5. Последовательность называется невозрастающей, если

.

Определение 6. Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.