Решение. Постоянную С можно найти из соотношения (5.18):

а) По условию

Постоянную С можно найти из соотношения (5.18):

Проще это сделать, исходя из геометрического смысла соотношения (5.18), означающего, что объем тела, ограниченного поверхностью распределения φ (х, у) и плоскостью Оху, равен 1.

В данном случае, это объем цилиндра с площадью основания πR² = π*1² = π и высотой С (рис. 5.6), равный п*С = 1, откуда С = 1/π. Следовательно,

Найдем функцию распределения F (x, y) по формуле (5.17):

(5.21)

Очевидно, что этот интеграл с точностью до множителя 1/π совпадает с площадью области D – области пересечения круга с бесконечным квадрантом левее и ниже точки M (x, y) (рис.5.7).

Опустим расчеты интеграла (5.21) для различных х и у,но отметим очевидное, что

при x ≤ -1, -∞ < y < ∞ или при -∞ < х < ∞, у < - 1 F(x,y) = 0,

так как в этом случае область D – пустая, а при x >1, у > 1 F (х,у) = 1, так как при этом область D полностью совпадает с кругом х² + у² < 1, на котором совместная плотность φ(х,у) отлична от нуля.

б) Найдем функции распределения одномерных составляющих X и Y. По формуле (5.19) при -1< х < 1

Итак,

Аналогично

Найдем плотности вероятности одномерных составляющих Х и Y. По формуле:

График плотности φ₁ (х) показан на рис. 5.8.

Аналогично

в) Искомую вероятность , т.е. вероятность того. Что случайная точка (X,Y) будет находится в круге радиуса R₁ = 1/3 (см. рис. 5.5), можно было найти по формуле:

,

но проще это сделать, используя понятие «геометрической вероятности», т.е.