Непараметрический VAR

Наиболее общий случай не требует предположений относительно типа распределения доходов. Пусть - начальные инвестиции и - доходность, которая является случайной величиной. В предположении, что никакие операции не производятся, стоимость портфеля в конце временного горизонта будет . Ожидаемые доходность и волатильность обозначим как и соответственно. Зададим нижнюю границу стоимости портфеля для данной доверительной вероятности как . Значение VAR определяет наибольшие возможные потери при заданной доверительной вероятности, поэтому выражается положительным числом. Но возникает вопрос – по отношению к какому уровню определяются эти потери? Традиционно используются два различных начальных уровня, которые дают два различных значения VAR: относительное и абсолютное.

Относительное VAR определяется как величина потерь, выраженных в абсолютных денежных единицах (рублях, долларах), по отношению к математическому ожиданию потерь на данном временном горизонте:

Но часто при торговле вводится абсолютное VAR – это потери в абсолютных денежных единицах по отношению к нулевому уровню, без сопоставления с математическим ожиданием:

Если горизонт прогноза невелик, то средняя доходность, как правило, мала, и оба подхода дают близкие результаты. Во всем остальном относительное значение VAR более приемлемо, поскольку измеряет риск в терминах отклонения от математического ожидания, или предполагаемого бюджета, на заданную дату, учитывая соответствующим образом временную стоимость денег. Этот подход более консервативен, если математическое ожидание положительно. Он также лучше подходит для определения неожиданных потерь, которые часто происходят при измерении кредитного риска на больших временных горизонтах.

В более общей форме, величину VAR можно определить с помощью функции плотности распределения вероятностей для будущей цены портфеля. При заданном уровне доверительной вероятности мы можем найти наибольшее возможное значение потерь из условия, что вероятность того, что потери превысят это значение, есть :

,

или из обратного условия, что вероятность потерь, меньших , есть

.

Число называется квантилью распределения, то есть критическим значением, вероятность превышения которого есть . Отметим, что здесь при введении величины VAR мы не использовали стандартное отклонение, поэтому определение справедливо для любого распределения, дискретного или непрерывного, с любым типом «хвостов» (толстых или тонких).

Воспользуемся этими соотношениями при вычислении значения VAR в предположении, что дневные доходности независимы и одинаково распределены. Мы можем вычислить величину VAR при 95% доверительной вероятности из условия, что 5% потерь попадают в «левый хвост» эмпирической гистограммы (рис. 2.10.).

Рис. 2.10. Эмпирическая гистограмма ежедневных поступлений (доходности)

Из гистограммы заключаем, что средняя доходность есть приблизительно 5.1 млн. Число наблюдений – 254, поэтому мы должны взять значение таким, чтобы левее него оставалось 5% наблюдений, то есть . У нас имеется 11 наблюдений левее -10 млн. и 15 наблюдений левее -9 млн. Интерполируя, получим млн.

Тогда показатель VAR для дневной доходности, измеренный относительно математического ожидания, есть:

млн.

Если же измерить величину VAR в терминах абсолютных потерь, мы получим 9.6 млн. Наконец, полезно найти среднее значение величины потерь, превышающих VAR, для данной гистограммы оно составляет 20 млн. Добавляя среднее значение, получим математическое ожидание потерь «в хвосте» (Expected Tail Loss, ETL), равное 25 млн.