Формула Тейлора и ее использование в приближенных вычислениях

Формула Тэйлора дает возможность приближенно представить произ­вольную функцию , раз дифференцируемую в окрестности некоторой точки , в виде многочлена -й степени относительно разности , называемого многочленом Тэйлора, и дать оценку погрешности этого приб­лижения.

В силу этого формула Тэйлора, помимо большого числа ее теоретиче­ских применений, является основой приближенных вычислений математи­ческого анализа, поскольку многочлен, приближенно представляющий функ­цию общего вида, является выражением, числовые значения которого всегда и легко вычислимы.

Разложение многочлена -ой степени по степеням разности :

. (1)

называется формулой Тэйлора для многочлена -й степени, а коэффициенты многочлена в правой части этой формулы , , ,…, называются коэффициентами Тэилора.

, (2)

где ; (или ) называется формулой Тэйлора для функции , раз дифференцируемой в окрестности точки , с остаточным чле­ном, в форме Лагранжа.

Остаточный член формулы Тэйлора в форме Лаг­ранжа:

. (3)

где ; (или ).

При получаем как частный случай формулы Тэйлора форму­лу Маклорена:

, (4)

Формулой Тэйлора с остаточным членом в форме Пеано. (Остаточный член в форме Пеано можно получить, не требуя непрерывность в точке ) имеет вид:

. (5)

Задача 1. Вычислить значение е с точностью до 0,0001.

Решение. Представим е, как функцию , где х =1. Найдем производные , ,…, (при всяком ); , .

Поэтому по формуле (4) находим . Применим это разложение для вычисления числа с точностью до . Положим в последнем равенстве :

.

Чтобы ошибка не превосходила , надо определить из условия, чтобы остаточный член, т.е. ,был меньше . Поскольку , ; поэтому уже при имеем .

Итак, можно положить

Значение числа с пятью знаками после запятой есть ..., что подтверждает правильность нашего вычисления.