Элементы теории вероятностей

Теория вероятностей, как и другие математические науки, развивалась из потребностей практики. Сегодня невозможно себе представить серьезное научное исследование в любой области без применения вероятностных методов. Однако первыми объектами вероятностных исследований были не серьезные научные проблемы, а легкомысленные игры.

Так, Джероламо Кардано (1506–1576) – итальянский математик, философ и врач, с именем которого связывают формулу решения неполного кубического уравнения, создание кардана и гироскопа, утверждал, что во время осады Трои (ок. 1260 г. до н.э.) для развлечения томящихся от скуки воинов некто Галамед изобрел игральные кости в виде кубиков с числом точек на каждой строке от 1 до 6. Для игры в кости не требовалось ни знаний, ни умения. Результат бросания – чистый случай. Это была первая азартная игра.

Слово азарт (франц. hasard – случай, риск) происходит от арабского аз–зарт – игра в кости. Позже распространились игральные карты, которые в современном виде (первоначально были известны в древности) появились во Франции в XIV в. Азартные игры позволяют формировать четкие вопросы и дают возможность проводить массовые эксперименты.

В связи с этим и в наши дни изучение теории вероятностей начинают с вопросов: “сколько раз при бросании монета упадет гербом вверх?”, “какова вероятность вытащить из колоды туза пик?” и т.д.

Одно из первых исследований по теории вероятностей принадлежит итальянцу Никколо Тарталье (ок. 1499–1557), называется “Общее правило данного автора, найденное в первый день поста 1523 г. в Вероне, чтобы уметь найти, сколькими способами можно варьировать положение какого угодно количества костей при их метании”.

Из многих функциональных положений теории вероятностей остановимся только на двух.

1) Если монету бросить дважды, то совершенно не обязательно, что один раз она упадет вверх гербом, а другой – цифрами. Если же монету бросить, скажем 1000 раз, то примерно в половине случаев выпадет герб, а в половине решкой. Чем большее число раз бросать монету, тем ближе в ¹/₂ будет частота появления гербов и цифр. Отсюда вывод: закономерности теории вероятностей тем более достоверны, чем больше число проведенных опытов.

Зависимость достоверности результатов от числа опытов определяется законом больших чисел (первое доказательство в XVII в. Якобом Бернулли).

2) Исключительно важную роль в описании случайных явлений играет нормальный закон распределения вероятностей (впервые в книге Муавра в XVIII в. “Учение о случаях”, затем Гаусс через 100 лет, и этот закон назвали его именем). Впервые эту науку теорией вероятностей назвал Лаплас.

Для того, чтобы пользоваться отдельными положениями теории вероятностей введем некоторые понятия.

Событие – всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Признак, что данный факт является событием, состоит в том, что ответом на вопрос “произошло ли событие?” может быть либо “да”, либо “нет”. Примеры событий: падение монеты при бросании гербом вверх, своевременная поставка сырья и др.

События могут быть достоверными, возможными и невозможными.

Достоверное – событие, которое непременно должно произойти; например, выпадение любого количества очков на игральной кости, расход ресурсов при выпуске продукции.

Невозможное – событие, которое не может произойти: появление двух тузов при вытаскивании одной карты, выпуск сверхплановой продукции без использования дополнительных ресурсов и др.

Возможное – событие, которое может произойти или не произойти: падение монеты гербом вверх, выполнение плана на 100% и др.

Для выражения возможности события используют численную меру. Численную меру возможности события называют вероятность. Вероятность события A, то есть P (A), можно вычислить

P (A) = m / n, где m – число случаев, когда событие A может произойти; n – общее число случаев.

Очевидно, что если P (A) =

0, то событие невозможно; 1, достоверное событие; > 0и < 1, событие возможное.

Вероятность P (A) характеризует возможность появления события А в будущем. Для оценки того, как часто события уже происходили, используют понятие частоты. Частоту события А обозначают

P ^*(A) = m ^*/ n, где m ^* показывает, сколько раз событие произошло; n – общее число произведенных испытаний.

Несовместными будем называть события, исключающие друг друга. Так, падение монеты вверх гербом и цифрами – это два несовместных события. Очевидно, что сумма вероятностей всех несовместных событий равна 1.

Случайные события можно характеризовать числами. Такие числа называют случайными величинами. Случайная величина может принять то или иное значение, заранее неизвестное. Например, случайные величины: объем поставленных материалов, трудоемкость операции или работы.

Конкретное измеренное значение случайной величины называют ее реализацией. Различные реализации случайной величины относят к несовместным событиям. Действительно, если трудоемкость изготовления детали составила 100 чел.–ч, то она не может быть 105 или другое значение.

Случайная величина не может быть описана одним конкретным числом. Ее можно описать либо количественными характеристиками, либо законом распределения. Наиболее распространенными характеристиками случайной величины являются: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариабельности.

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины, обозначается M_x или M [ x ] или :

M [ x ] = ,

где n – число реализаций; x_i – значение случайной величины в i -й реализации.

Дисперсия D [ x ] (или D_x) характеризует разброс значений случайной величины:

D [ x ] = .

Так как размерность дисперсии равна квадрату размерности самой случайной величины, использовать дисперсию для относительной оценки разброса случайной величины нельзя.

Поэтому разброс оценивают средним квадратическим отклонением:

s _x ² = D [ x ] или

s _x = = .

Удобной характеристикой случайной величины является коэффициент вариабельности, который показывает относительное значение разброса случайной величины:

m[ x ] = .

Пример 8.1

Пусть наличие некоторого i -го ресурса в каждом квартале b_i – случайная величина. Реализация этой случайной величины – фактический объем ресурса в каждом квартале (по отчету прошлого года и трех кварталах текущего) (табл. 9.1).

Таблица 8.1

Квартал	I	II	III	IV	I	II	III
bi

Решение.

Тогда математическое ожидание случайной величины b_i:

= (90 + 100 + 105 + 111 + 89 + 95 + 110)/7 = 100.

Среднеквадратическое отклонение:

s _b =

Коэффициент вариабельности:

m _b =

Наиболее полная характеристика случайной величины – закон ее распределения. Он показывает, какова вероятность появления каждого возможного значения случайной величины, или каким образом суммарная вероятность появления случайной величины, равная единице, распределена между ее возможными значениями.

n Закон распределения устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Из множества законов наиболее распространен нормальный закон распределения, с помощью которого решают различные задачи оптимизации, в том числе и в условиях неопределенности.

Нормальный закон распределения имеет две формы представления: плотность распределения (рис. 9.1а) и функцию распределения (рис. 9.1б).

Рис. 8.1

С помощью графика (а) можно определить, например, чему равна вероятность принятия случайной величиной x, изменяющейся в интервале значений A, B (A £ x £ B), значения не больше величины a, то есть P (x £ a). Оказывается, эта вероятность равна заштрихованной площади. Зная P (x £ a) можно установить вероятность, что x будет не меньше величины а, то есть P (x ³ a).

Очевидно, что P (x £ a) + P (x ³ a) = 1 (как сумма несовместных событий), тогда P (x ³ a) = 1– P (x £ a), что соответствует незаштрихованной площади (рис. 9.1а).

Большое распространение получила другая форма распределения (потому что площадь криволинейной фигуры трудно вычислить) – функция распределения F (x) (рис. 9.1 б). Здесь вероятность P (x £ a) равна ординате кривой F (x). Следовательно, P (x £ a) = F (a), то есть P (x ³ a) = 1– F (a). Для обеспечения расчетов по нормальному закону распределения от реальной случайной величины x переходят к нормированной (центрированной) случайной величине

.

При этом P (x £ a) = F (t). Для определения F (t) используют специальные таблицы (табл. 9.2), по данным которых можно построить график функции распределения.

Таблица 8.2

t	–3	–2	–1	–0.25		0.25
F (t)	0.001	0.02	0.16	0.4	0.5	0.6	0.84	0.98	0.999

По графику F (t) (рис. 9.2) можно легко определить интересующие нас величины.

Рис. 8.2

Например, какова вероятность того, что наличный ресурс будет не менее 98.

Очевидно, что P (x ³98) = 1– P (x £98). Для данного примера . Ранее установили, что = 100; s _b = 9. Следовательно,

t = (98–100)/9 = –0,25.

Так как P (x £ a) = F (t); то P (x £98) = F (–0,25) = 0,4. Тогда

P (x ³98) = 1– P (x £98) = 1–0,4 = 0,6.

Можно поставить и обратную задачу: при каком значении t _a вероятность появления случайной величины удовлетворяла условию P (t £ t _a) = a –заданный уровень вероятности. Если a задать 0,6, то t _a = 0,25.