Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Свойства первообразных и неопределённого интеграла вытекают из определения и соответствующих свойств производных.
1. Из определения вытекает, что
и
Второе равенство нужно понимать так, что производная любой из функций, составляющих неопределённый интеграл, даёт один и тот же результат, равный подынтегральной функции (это как раз и есть определение первообразной). Два написанных равенства выражают взаимную обратность операций дифференцирования и интегрирования.
2. Имеет место равенство:
где -- произвольная постоянная. Для доказательства обозначим через некоторую первообразную для , а через -- некоторую первообразную для . Тогда равенство означает, что , где -- постоянная. Это равенство верно, поскольку производные левой и правой частей дают одно и то же: , так как -- первообразная для , а , так как постоянный множитель можно вынести за знак производной и .
Итак, постоянный множитель можно вынесить за знак интеграла.
3. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
Действительно, пусть первообразная для равна , для равна , а для равна . Тогда равенство означает, что
где . Поскольку
и
то равенство верно; при этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных.
Свойства 2 и 3 называются свойствами линейности неопределённого интеграла. Из них следует, что для любых постоянных и
и, в частности,
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 578 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!