Дифференциал как мера

Один из фундаментальных фактов математического анализа состоит в том, что дифференцирование и интегрирование - взаимно обратные процедуры. Возникает вопрос, переносится ли этот факт на рассматриваемые нами более общие теории интегрирования и дифференцирования. Кратко можно сказать, что для интеграла, построенного с помощью меры Лебега на действительной прямой, существует достаточно хорошая теория дифференцирования, но для любой более общей модели необходимы дополнительные уточнения. Важно отметить, что даже для интегралов, порожденных теорией плоской меры Лебега (меры, построенной по функции t, определяющей площадь прямоугольников на плоскости), теория дифференцирования становится более тонкой. При обсуждении вопросов дифференцирования, связанных с теорией меры, существует формальное видоизменение обычного дифференцирования, основанное на том, что интегралы рассматриваются как функции множества, а не как функции точки. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы одну функцию множества a, возможно, интеграл, продифференцировать по другой функции множества - мере m. Определение производной принимает форму

<="" div="" style="border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; ">
Не вдаваясь в детали, можно сказать, что I (r) x означает здесь, что множество I стягивается в точку x. Основная трудность связана именно с точной интерпретацией этой идеи. Проверим ее разными способами. Пусть f(x) - функция, интегрируемая по Лебегу на части действительной прямой, и пусть a(E) определена для каждого измеримого множества E из области определения функции f формулой

<="" div="" style="border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; ">
Определим теперь дифференцирование функции a следующим образом. Выберем в качестве множеств I замкнутые интервалы. Возьмем, далее, произвольные стягивающиеся последовательности этих интервалов, имеющих общей точкой лишь точку x, интерпретируя этот процесс как I (r) x. При этих условиях можно доказать, что a'(x) существует и равна f(x) всюду, за исключением, может быть, тех точек множества, мера которых равна нулю. Математики используют в подобных случаях терминологический оборот, говоря, что "a' = f почти всюду". Нестрого можно утверждать, что "если имеется интегрируемая функция, то дифференцирование интеграла позволяет почти всюду восстановить подынтегральную функцию". Но можно поступить и иначе. Ключевые свойства интеграла как функции множества заключаются в том, что он вполне аддитивен и абсолютно непрерывен, т.е. обращается в нуль на множествах меры нуль. Если m - мера Лебега на действительной прямой, дифференцирование определено относительно произвольной последовательности стягивающихся замкнутых интервалов, а функция a вполне аддитивна и абсолютно непрерывна, то a' существует почти всюду, и для каждого измеримого множества E

<="" div="" style="border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; ">
На плоскости ситуация сложнее. Чтобы доказать, что интеграл почти всюду дифференцируем и его производная равна подынтегральной функции, необходимо ограничить определение производной. Используя стягивающиеся в точку прямоугольники, необходимо наложить два ограничения: стороны прямоугольников всегда должны быть параллельны координатным осям, и при стягивании отношение длины и ширины должно оставаться неизменным или по крайней мере одного и того же порядка. При таких ограничениях интеграл почти всюду дифференцируем, производная его совпадает с подынтегральной функцией, но этот результат утрачивает силу, если допустить наклонные прямоугольники или когда отношение сторон меняется при стягивании прямоугольников в точку. Если абсолютно непрерывная, вполне аддитивная функция задается на плоских множествах, то необходимо дополнительно потребовать, чтобы ее значение на любом измеримом множестве было сколь угодно точно аппроксимируемо ее значением на накрывающем открытом множестве. Тогда функция дифференцируема в ограниченном выше смысле почти всюду и равна интегралу от своей производной. Если потребовать, чтобы длина и ширина прямоугольников, используемых в определении производной, были величинами одного и того же порядка, то можно воспользоваться теоремой, согласно которой интеграл почти всюду имеет производную, равную подынтегральной функции. Но все рушится, если отказаться от требования ограниченности. Утверждение теоремы становится неверным в топологическом смысле для большинства неограниченных подынтегральных функций. Наконец, существует весьма абстрактная теорема Радона - Никодима (1930), согласно которой, если функция a определена на классе измеримых множеств и всюду конечна, вполне аддитивна и абсолютно непрерывна, то существует функция точки f, такая, что для каждого измеримого множества E функция a(E) является интегралом от f по E. Функцию f поэтому можно рассматривать как абстрактную производную от a, однако ни формулировка теоремы Радона - Никодима, ни ее доказательство не дают оснований для интерпретации этой абстрактной производной как предела отношения. Производная в данном случае определяется единственным способом - как решение некоторого интегрального уравнения. Иначе говоря, абстрактная производная от a есть функция f, такая, что для любого измеримого множества E

<="" div="" style="border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; ">