Решение. а) Испытание – вынимают 4 шара из 11

а) Испытание – вынимают 4 шара из 11.

Событие – среди вынутых шаров 2 белых.

Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.

Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно вынуть 2 белых и 2 чёрных шара.

Здесь порядок расположения шаров не важен, поэтому количество способов будем искать по формуле сочетания:

Таким образом, .

Вывод. Вероятность того, что среди вынутых имеется 2 белых шара, равна .

б) Испытание – вынимают 4 шара из 11.

Событие – среди вынутых шаров меньше чем 2 белых шара. Это событие состоит из двух несовместных событий:

– среди вынутых шаров только 1 белый и 3 чёрных шара,

– среди вынутых шаров нет ни одного белого и все 4 шара черные.

Так как события и несовместны, то .

Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.

Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно вынуть 1 белый и 3 чёрных шара или 0 белых и 4 чёрных шара.

Используя формулы комбинаторики, получим:

Таким образом, .

Вывод. Вероятность того, что среди вынутых имеется меньше чем 2 белых шара, равна .

в) Испытание – вынимают 4 шара из 11.

Событие – среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 чёрных (), 2 белых и 2 чёрных (), 3 белых и 1 чёрный (), 4 белых ().

Здесь событие определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле вычислить вероятность искомого события.

Рассмотрим противоположное событие – среди вынутых шаров нет ни одного белого. Значит все вынутые 4 шара чёрные.

Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.

Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно вынуть 4 чёрных шара.

Используя формулы комбинаторики, получим:

Таким образом, , .

Вывод. Вероятность того, что среди четырёх вынутых шаров нет ни одного белого, равна .

Практическое занятие №2:

«ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ ПО ФОРМУЛЕ БАЙЕСА»

Учебная цель: формировать умение находить вероятности событий по формуле Байеса.

Учебные задачи:

- научиться находить полную вероятность события;

- научиться находить вероятность гипотез по формуле Байеса.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- применять стандартные методы и модели к решению вероятностных задач;

знать:

- основы теории вероятностей.