Средняя арифметическая и ее свойства

Средняя арифметическая применяется, когда объем осредняемого варьирующего признака образуется как сумма его значений по отдельным единицам изучаемой совокупности. Она имеет две формы: простая (невзвешенная), взвешенная. Если каждое значение признака повторяется 1 раз в совокупности или установлено равенство весов, или данные не сгруппированы, то среднее значение признака вычисляется по средней арифметической простой. Средняя арифметическая простая находится по формуле:

. (2.1)

Признак, по которому находится средняя величина, называется осредняемым.

Если каждое значение признака повторяется в ряду распределения несколько раз, то средняя вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

, (2.2)

где - значение осредняемого признака;

- частота, вес;

- взвешевание.

, если - частость выраженная в процентах.

Свойства средней арифметической:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты:

; (2.3)

2. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число , то и со средней арифметической произойдут аналогичные изменения:

; (2.4)

3. Если каждую варианту умножить на какое-либо произвольное число , то средняя арифметическая увеличится во столько же раз:

; (2.5)

4. Если каждую варианту разделить на какое-либо произвольное число , то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз:

; (2.6)

5. Если уменьшить или увеличить вес каждой варианты в раз, то средняя арифметическая не изменится:

; (2.7)

6. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

. (2.8)