Интервальный ряд распределения

Группы рабочих по возрасту (лет), х	Число рабочих, f	Накопленная частота, S
18-21
21 –24
24-27
27-30
30-33
33-36
36-39
Итого 30		-

2. Графически интервальный вариационный ряд может быть представлен в виде гистограммы, полигона, кумуляты.

Гистограмма строится в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладывают интервалы значений вариационного признака, причем число интервалов целесообразно увеличить на два (по одному в начале и в конце имеющегося ряда) для удобства преобразования гистограммы в полигон частот. На отрезках (интервалах) строятся прямоугольники, высота которых соответствует частоте.

Для преобразования гистограммы в полигон частот середины верхних сторон прямоугольников соединяют отрезками прямой, и две крайние точки прямоугольников замыкаются по оси абсцисс на середине интервалов, в которых частоты равны нулю. На рис. 2 представлено графическое изображение построенного интервального вариационного ряда в виде гистограммы и полигона частот.

Как видно из графика, треугольники, относящиеся к площади гистограммы и к площади полигона, попарно равны между собой, и, следовательно, площадь гистограммы и площадь полигона данного вариационного ряда также совпадают.

На основе построенной гистограммы графически можно определить значение моды. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют прямой с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяют с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения. Мо = 28,3 года. На рис. 2 эти прямые линии,

Рис. 2. Гистограмма и полигон распределения рабочих цеха по возрасту

соединяющие вершины прямоугольников, и перпендикуляр из точки их пересечения показаны пунктирной линией.

На рис. 3 представлена кумулятивная кривая (кумулята).

Кумулята может быть использована для графического определения медианы. Для этого последнюю ординату кумуляты делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси х, до пересечения ее с кумулятой. Из точки пересечения опускается перпендикуляр до оси абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой. Линии, определяющие медиану, на рис. 3 показаны пунктирными линиями. Me = 28,6 года.

Рис. 3. Кумулята распределения рабочих цеха по возрасту

3. Расчет показателей центра распределения:

где х' - среднее значение признака в интервале (центр интервала).

Для интервального вариационного ряда порядок расчета структурных средних следующий: сначала находят интервал, содержащий моду или медиану, а затем рассчитывают соответствующие значения названных показателей.

Модальным в данном распределении является интервал 27 - 30 лет, так как наибольшее число рабочих (f= 10) находится в этом интервале. Значение моды определяется по формуле

Значение моды, полученное по формуле, соответствует значению, полученному на графике.

Место медианы – года

Медианным является также интервал 27 - 30 лет, так как в этом интервале находятся номера 15 и 16 ряда.

Для расчета показателей вариации составляется вспомогательная таблица (табл. 2.).

Таблица 2.

Таблица для расчета показателей вариации

Группы рабочих по возрасту, лет	Центр интервала, лет (x')	f	x'×f		|d|×f	d2	d2×f
18-21	19,5		19,5	-9,2	9,2	84,64	84,64
21-24	22,5		67,5	-6,2	18,6	38,44	115,32
24-27	25,5		153,0	-3,2	19,2	10,24	61,44
27-30	28,5		285,0	-0,2	20,0	0,04	0,40
30-33	31,5		157,5	2,8	14,0	7,84	39,20
33-36	34,5		103,5	5,8	17,4	33,64	100,92
36-39	37,5		75,0	8,8	17,6	77,44	154,88
Итого	-		861,0	-	116,0	-	556,80

Следовательно, вариация возраста у рабочих данного цеха не является значительной, что подтверждает достаточную однородность совокупности.

Как видно на рис. 2, распределение рабочих по возрасту несимметрично, поэтому определяется показатель асимметрии:

Следовательно, асимметрия правосторонняя, незначительная. При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение

Mo < Me < .

Для данного распределения это соотношение выполняется, т. е. 28,33 < 28,65 < 28,70. При левосторонней асимметрии (A_S со знаком минус) соотношение между показателями центра распределения будет иметь вид:

Mo > Me > .

Для имеющегося распределения, учитывая незначительную асимметрию, целесообразно определить показатель эксцесса (островершинности):

где m₄ - центральный момент четвертого порядка;

Отрицательное значение эксцесса свидетельствует о плосковершинности распределения.

3. Имеются следующие данные о времени простоя автомобиля под разгрузкой:

№ пункта разгрузки
Число грузчиков
Время про- стоя, мин

Проверить закон сложения дисперсий.