Расчет современной величины будующего

Наличие банков, в которых можно выгодно хранить деньги, создало условия, при которых доходы выгоднее получать раньше, чем позже. Поэтому номинально равные доходы признаются неэквивалентными, если они получены в разное время. Так, полученная в мае январская зарплата считается неполной, так как за четыре месяца можно было получить некоторую сумму в банке, если бы она была получена в январе. В связи с этим принято будущие доходы пересчитывать по состоянию на современный момент.

Задача 11. Определите современную величину капитала в 20 тыс.руб. (S=20), если процентная ставка 12 процентов (i=0,12), а процентные деньги, начисляемые по формуле сложных процентов, начисляются ежемесячно (m=12). Продолжительность хранения денег в банке - два года (n=2).

Решение.

- n - mn

1. P = S(1+i), если m=1. И P = S(1+i/m), когда m > 1.

-12*2

2. P = 20(1+0,12 / 12) = 15,91 тыс. руб.

14.Финансовые ренты Финансовая рента (аннуитет) - ряд последовательных платежей, выплачиваемых через равные промежутки времени. Каждый отдельный взнос - член ренты. Рента постнумерандо - рента, члены которой вносятся (или выплачиваются) в конце каждого периода (месяца, квартала и т.д.). Рента преднумерандо - рента, члены которой вносятся в начале периода.Немедленная рента - рента, выплачиваемая без задержки.

1. Сумма членов геометрической прогрессии

S_r =a₁ + a₁ b² + a₁ b³ +...+ a₁ b^n-1,

где a₁ - первый член геометрической прогрессии;

b - знаменатель прогрессии (b#0, b#1);

S_r - сумма членов геометрической прогрессии.

Sr = a₁ (bⁿ -1)/(b-1).

2. Сумма немедленной ренты, члены которой вносятся

в банк в конце каждого года

На схеме показан процесс нарастания накопления.

Нарастание суммы ренты показано в табл. 3.3.1.

Таблица 3.3.1

Накопленная сумма к концу года	Суммы, их которых складываются накопления к концу года
Начало первого года S1	R
Конец первого года S2	R(1+i)+R
Конец второго года S3	=[R(1+i)+R](1+i)+R=R+R(1+i)+R(1+i)2
и т. д.	и т. д.

Следовательно, к концу n-го периода сумма накопленной ренты определяется

так:

S_u =R+R(1+i)+...+R(1+i)^u-1 = R [1 + (1+i) + (1+i)² +...+(1+i)^u-1 ]” =

=R [(1+i)^u - 1] / [(1+i)-1] = R[(1+i)^u - 1] / i.

") В скобках указана сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем (1+i) и первым членом равным 1.

При выплате ренты в начале первого периода, с учетом последнего платежа перед снятием денег, число выплат на единицу превышает число рассматриваемых периодов, т. е. u = n+1.

Поэтому вышеприведенную формулу можно записать так:

S_n = R[(1+i)ⁿ⁺¹ - 1] / i,

где S_n – накопленная сумма в конце п – ого периода, включая только что внесенную сумму;

п – число периодов выплаты ренты.

Введем

а = [(1+i)^п+1 - 1] / i.

Тогда

S_n =R*а.

Задача 13. Рента в 40 тыс. руб. (R=40) ежегодно вносится в банк. Один раз в год по ставке 20% годовых банк начисляет процентные суммы (i = 0,20).

Определите сумму средств на счете вкладчика через 10 лет (n=10).

Решение.

1. а = [(1+0,2)¹⁰⁺¹ -1] / 0,2 = 32,15042.

2. S_n = 40 х 32,15042= 1286,017 тыс. руб.

3. Расчет накопленной суммы ренты, вносимой р раз в год

(процентные деньги начисляются m раз за год

по формуле сложных процентов)

Введем

mn

(1+ i / m) - 1

b = ------------------------.

m/p

(1+i / m) - 1

Тогда

S = (R / p) b.

где R / p - разовый взнос (член ренты).

Задача 14. Рента в размере 13 тыс. руб. (R / p = 13) вносится в конце каждого квартала (p = 4). Банк начисляет процентные суммы ежемесячно (m = 12) по ставке 24% (i = 0,24). Определите сумму накопленной ренты к концу 5- го года (n=5).

Решение. 12*5

(1+0,24 / 12) - 1

1. b = ----------------------------- = 20,9284.

12/4

(1+0,24 / 12) - 1

2. S = (R / p) * b = 13 * 20,9284 = 272,07 тыс. руб.

4. Определение современной величины

немедленной ренты

Современной величиной суммы ренты (А) называется сумма всех

дисконтированных членов ренты на начало её срока.

Известно, что

P_z = S_z (1+i)^-nz,

где P_z - современная величина капитала.

По определению

,

где k - число платежей (n = 1,2,...,k).

Тогда

A = S₁ (1+i)^-1 + S₂ (1+i)^-2 +...+ S_k (1+i)^-k.

Tак как

S₁ = S₂ =...= S_k =R.

то, обозначив (1+i)^-1 через V, имеем:

A = R*V*(1 + V + V² +...+ V ^k-1).

Примем

а_d = [1- (1+i)^-k ] / i.

Найдем

A=R*a_d.

Задача 15. Определите современную величину ренты, которая накопилась в результате ежегодных взносов в размере 5 тыс. руб. (R=5) в течение 4 лет (k=n=4). Процентная ставка - 35% (i = 0,35).

Решение.

1. Рассчитываем дисконтный множитель

-4

a_d = [1-(1+0,35) ] / 0,35 =1,99695.

2. A=5*1,99695=9,98 тыс. руб.

5. Современная величина немедленной ренты, вносимой р раз за год с начислением процентных денег m раз за год.

A=(R/p)a_f.

-mn

1 - (1+I / m)

где a_f = _______________

m/p

(1+i / m) - 1

Следствие:

m/p

Lg (1 - a_f (1+ i / m) - 1))

n = ________________________.

- m *Lg (1+i / m)

Задача 16. Рента вносится равными платежами 4 раза в год (p = 4) по 600 тыс. руб. (R / p = 600). Процентная ставка - 7,2 % (i=0,072). Рента постнумерандо с ежемесячным начислением процентов (m = 12). Через сколько лет (n) современная сумма ренты достигнет 6000 тыс.руб.(A=6000)?

Решение.

1. a_f = A / (R/p) = 6000 / 600 = 10.

12/4

Lg (1- 10 ((1+0,72/12) - 1)

2. n = _____________________________ = 2,78 года.

-12*Lg (1+0,072/12)

6. Конверсия ренты

Конверсия ренты - замена одного связанного с рентой договора другим договором при сохранении интересов (финансовой эквивалентности) участников сделки.

Уравнение эквивалентности

A₁ = A₂ или R₁ a_d1 =R₂ a_d2, (6.1)

где 1 - параметры прежнего договора,

2 - параметры нового договора.

Задача 17. Годовая немедленная постнумерандо рента со сроком 5 лет (n₁-5) и разовым платежом в 200 тыс.руб. (R₁=200) заменяется на ренту со сроком 7

лет (n₂=7). Процентная ставка - 6 % годовых. Определите сумму нового разового взноса (R₂).

Решение.

1. a_d1 = [1 - (1+0,06)^-5 ] / 0,06 = 1,5077.

2. a_d2 = [1- (1+0,06)^-7 ] / 0,06 =1,6046.

Из (6.1) следует, что

R₂ = (R₁ a_d1) / a_d2 = 20*1,5077 / 1,6046 = 18,79 тыс. руб.

15.планы погашения кредитов. 1. Погашение разовым платежом

При таком плане погашения кредита для расчетов используют ранее приведенные формулы расчетов.2.Погашение равными уплатами в части

погашения основного долга с погашением

начисленных процентов

При таком плане погашения заемщик возвращает банку средства частями, каждая из которых содержит часть основного долга (постоянную величину) и переменную - сумму начисленных процентов с момента предыдущего погашения. 3. Погашения кредита с созданием погасительного фонда

Погасительный фонд - накапливаемые на банковском счете средства юридических и физических лиц с целью использования для погашения ранее взятого кредита.

Введем условные обозначения.

Процентная ставка, по которой заемщик выплачивает банку № 1 деньги за взятый кредит - i (i < g).

Процентная ставка, по которой банк № 2 начисляет процентные суммы в пользу владельца погасительного фонда - g.

Сумма кредита, полученная заемщиком в первом банке - С.

Процентная сумма, которую заемщик ежегодно выплачивает банку № 1 за предоставленный кредит – i*С.

В банке А начисляются простые проценты. Следовательно, заемщик ежегодно должен накопить сумму равную Sa, где Sa = С(1+i *n).

В банке В заемщик организовал вклад, в который ежегодно вносится R рублей. Банк выплачивает g процентов годовых. Сложные проценты начисляются один раз за год. Следовательно, через п лет сразу после последнего взноса в банке В будет накоплена сумма S_b:

S_b = R[(1+g)ⁿ⁺¹ - 1] / g == R*а,

где а = [(1+g)ⁿ⁺¹ - 1] / g;

п – число лет выплаты ренты;

g – годовая процентная ставка.

Для того чтобы рассчитаться с банкам А надо, чтобы

Sa = S_b или Sa = R*а.

Откуда ежегодно вносимая сумма (R) равна Sa / а:

.

Задача 18. Малое предприятие получило в банке A кредит на сумму 10000 тыс. руб. (С = 10000) под 30% годовых (i = 0,30) на 5 лет (n = 5). Банк А ежегодно начисляет простые проценты. Для погашения кредита в банке Б, в котором годовая процентная ставка по вкладам 32%, а процентные суммы начисляются один раз в год по формуле сложных процентов, создан погасительный фонд. В погасительный фонд взносы вносятся ежегодно.

Определите сумму ежегодных взносов в банк Б и размер срочной уплаты банку А.

Решение.

1. Рассчитаем множитель, связанный с накоплением денег в банке Б (накоплением погасительного фонда):

а_w = [ (1+0,32)⁵⁺¹ - 1] / 0,32 = 13,4058.

2. Определим сумму, которую должен иметь заемщик, чтобы погасить долг в банке А через 5 лет.

Sa = С(1+i *n).= 10000(1+0,3*5) =25000 тыс. руб.

3. Рассчитаем ежегодный взнос в банк Б:

R = 25000 / 13,4058 = 1864,86 тыс. руб.

16.погашение кредита с помощью погасительного фонда. Погашения кредита с созданием погасительного фонда. Погасительный фонд - накапливаемые на банковском счете средства юридических и физических лиц с целью использования для погашения ранее взятого кредита.

Введем условные обозначения.

Процентная ставка, по которой заемщик выплачивает банку № 1 деньги за взятый кредит - i (i < g).

Процентная ставка, по которой банк № 2 начисляет процентные суммы в пользу владельца погасительного фонда - g.

Сумма кредита, полученная заемщиком в первом банке - С.

Процентная сумма, которую заемщик ежегодно выплачивает банку № 1 за предоставленный кредит – i*С.

В банке А начисляются простые проценты. Следовательно, заемщик ежегодно должен накопить сумму равную Sa, где Sa = С(1+i *n).

В банке В заемщик организовал вклад, в который ежегодно вносится R рублей. Банк выплачивает g процентов годовых. Сложные проценты начисляются один раз за год. Следовательно, через п лет сразу после последнего взноса в банке В будет накоплена сумма S_b:

S_b = R[(1+g)ⁿ⁺¹ - 1] / g == R*а,

где а = [(1+g)ⁿ⁺¹ - 1] / g;

п – число лет выплаты ренты;

g – годовая процентная ставка.

Для того чтобы рассчитаться с банкам А надо, чтобы

Sa = S_b или Sa = R*а.

Откуда ежегодно вносимая сумма (R) равна Sa / а:

.

Задача 18. Малое предприятие получило в банке A кредит на сумму 10000 тыс. руб. (С = 10000) под 30% годовых (i = 0,30) на 5 лет (n = 5). Банк А ежегодно начисляет простые проценты. Для погашения кредита в банке Б, в котором годовая процентная ставка по вкладам 32%, а процентные суммы начисляются один раз в год по формуле сложных процентов, создан погасительный фонд. В погасительный фонд взносы вносятся ежегодно.

Определите сумму ежегодных взносов в банк Б и размер срочной уплаты банку А.

Решение.

1. Рассчитаем множитель, связанный с накоплением денег в банке Б (накоплением погасительного фонда):

а_w = [ (1+0,32)⁵⁺¹ - 1] / 0,32 = 13,4058.

2. Определим сумму, которую должен иметь заемщик, чтобы погасить долг в банке А через 5 лет.

Sa = С(1+i *n).= 10000(1+0,3*5) =25000 тыс. руб.

3. Рассчитаем ежегодный взнос в банк Б:

R = 25000 / 13,4058 = 1864,86 тыс. руб.

17.Классификация денег денежные агрегаты.широкие деньги В условиях товарного производства обмен результатами труда без денег практически невозможен. Даже бартерные сделки требуют денежной оценки. Деньги выполняют многие функции:

- средства платежа (обращения);

- средства сбережения (накопления);

- единица счета (мера стоимости).

Деньги обслуживают производство, распределение, перераспределение и потребление товаров и услуг. Постоянное движение денег называется денежным обращением. Например.

Банк А → Банкомат → Население→Магазин→

→ Инкассация → Банк В→ Банк А.

Наряду с деньгами платежными средствами являются векселя, чеки, кредитные карты. Совокупная сумма денежных платежей (наличных и безналичных) образуют денежный оборот. Форма, в которой осуществляется денежное обращение, называется денежной системой. Денежная система включает: виды денег, порядок эмиссии денег, методы регулирования денежного обращения, организацию денежного обращения, органы управления денежной системой.

Основными задачами статистики денежного обращения являются:

- определение объема, структуры и динамики денежных средств;

- изучение взаимосвязи денежного обращения с другими макроэкономическими показателями;

- прогнозирование покупательной способности рубля;

- регулирование и прогнозирование курса рубля по отношению к иностранным валютам.