Простые и сложные проценты

1. Конечные суммы вкладов при начислении процентных

денег по простым процентам

При такой схеме начисления процентных денег к основной сумме добавляются постоянные суммы равные произведению первоначального вклада на ставку, выраженную в долях.

Задача 1. Кредит на сумму 60 тыс. руб. (P=60) погашен через 3 года (n=3). Определите наращенную (конечную) сумму (S), если заемщик выплачивает банку 8,5 % годовых (i = 0,085).

Решение.

S = P(1+ni) = 60 (1+3*0,085) = 75,3 тыс.руб.

Если ставка в условии задана годовая, а срок вклада менее года, то вначале рассчитывается ставка за короткий промежуток времени (дневная, месячная или квартальная). Ставки за короткие промежутки времени определяются путем деления годовой ставки на соответствующее число: 366, 365, 360, 12, 4.

Задача 2. Кредит в размере 100 тыс. руб. (P = 100) взят на 90 дней (t = 90) под 6 процентов годовых (i = 0,06). Возвращается ссуда разовым

платежом. Какую сумму должен внести заемщик при погашении кредита?

Решение.

1. По формуле обыкновенных процентов:

S=P (1+t * (i / 360)) = P (1+t*j) = 100 (1+90*0,06 / 360) = 101,500 тыс. руб.

2. По формуле точных процентов:

S = P (1+t i / 365) = 100 (1+90*0,06/365) = 101,479 тыс. руб.

2. Расчет наращенных сумм вкладов при начислении

процентных денег по сложным процентам

При использовании алгоритма сложных процентов добавляемая к первоначальному вкладу сумма не остается постоянной, так как на процентную ставку умножается уже увеличенный вклад.

Обозначим начальную сумма вклада через Р, годовую сложную процентную ставку как i, наращенную сумму вклада, как обычно, значком S.

Если вклад внесен в начале года, то в конце первого года

.

В конце второго года наращенная величина вклада будет равна:

.

Следовательно, имеем

,

где п – число лет.

Когда задана годовая ставка, а сложные проценты начисляются несколько раз за год, то

,

где m – число начислений сложных процентов за год.

Возможен случай, когда сложные проценты начисляются один раз в течение года, но вклад находится в банке менее год. Тогда

.

Задача 3. В начале года банком на 6 лет (n = 6) выдан кредит на сумму в 280 тыс. руб. (P = 280). Какую сумму должен выплатить должник через три года, если процентная (банковская) ставка равна 3-м сложным годовым процентам (i=0,03)? Сложные проценты начисляются один раз в конце каждого года.

В конце первого года долг будет равен 288,4 тыс. руб.

S = P(1+i) = 280(1+0,03) = 288,4 тыс.руб.

К концу второго года долг будет равен 297,052 тыс. руб.

S = P(1+i) = 280(1+0,03)(1 + 0,03) = 297,052 тыс. руб.

К концу третьего года долг увеличится до 305,964 тыс. руб.

S = P(1+i) = 280(1+0,03)(1 + 0,03)(1 + 0,03) =280 (1 + 0,03)³ = 305,964 тыс. руб.

В общем случае

n -n

P = S / (1+i) = S (1+i).

Задача 4. Кредит в 600 тыс. руб. взят в банке под 5,5% годовых (P = 600, i = 0,055) на 36 дней (t = 36). Какую сумму должен выплатить заемщик при разовом погашении кредита, если проценты начисляются один раз в течение года по формуле обыкновенных сложных процентов?

Решение.

t/360 36/360 0,1

1. S = P(1+i) = 600(1+0,055) = 600*1,055.

2. Логарифмируем.

Lg S = Lg 600 + 0,1*Lg 1,055.

Lg S = 2,7782 + 0,1*0,02325 = 2,78053.

Ответ: S = 603, 289 тыс. руб.

Задача 5. Заемщик на 60 дней (t = 60) взял кредит в размере 720-ти тыс.руб. (Р = 720). Годовая процентная ставка равна 36 процентам (i=36). Процентные суммы начисляются ежедневно по формуле сложных обыкновенных процентов. Какая сумма должна быть внесена при погашении кредита разовым платежом (S)?

Решение.

t 60

S = P(1+i/360) = 720(1 + 0,36 / 360) = 763,74 тыс.руб.

3. Расчет начальных сумм при определении величины

дисконта по простым процентам

Вексель – безусловное обязательство заплатить владельцу этой ценной бумаги в установленный срок известную сумму, то есть выкупить вексель по номиналу S. Продается вексель по цене Р. Обязательно Р < S. Иначе покупателю нет смысла вексель приобретать. Дисконт - есть разность S - P.

Дисконтирование может быть банковским и математическим. При применении банковского простого алгоритма

где d - годовая ставка дисконта;

п - число лет.

Когда срок векселя менее года, то

.

При математическом дисконтировании

.

Задача 6. Банк купил вексель, номинальная стоимость которого 40 тыс. руб. (S = 40), за P рублей (банк учел вексель на P рублей) (P < S). Через два года (n = 2) банк предполагает получить с должника по векселю всю сумму долга (40 тыс. руб.). Учетная ставка банка (дисконтная ставка, дисконт) - 10% в год (d = 0,1). Определите цену, по которой банк учел вексель, т. е. определите Р.

Решение.

P = S(1-nd) = 40(1-2*0,1)=32,00 тыс. руб.

Задача 7. Вексель на сумму 200 тыс. руб. (S = 200) банк учел (купил его у лица А) за 30 дней (t = 30) до момента наступления обязательства по нему. Какую сумму денег получило в банке лицо А, если дисконтная ставка равна 25 процентам (d = 0,25)?

Расчеты проводятся по формуле обыкновенных процентов.

Решение.

P = S(1- dt / 360) = 200(1-30*0,25 / 360) = 195,83 тыс. руб.

4. Начальные суммы при начислении дисконта

по сложным процентам

Задача 8. Вексель лица А номиналом в 300 тыс. руб. (S = 300) учтен банком за 20 дней до наступления обязательства по нему (t = 20). Какую сумму получило лицо А, если дисконтирование осуществляется по сложным обыкновенной учетной ставке 360 раз в год (m = 360). Дисконтная ставка – 7,2% за год (d=0,072).

Решение.

t 20

1. P = S(1- d/360) = 300(1- 0,072/360) = 300,060 тыс. руб.

5. Эквивалентность ставок при простых процентах

Ставки i и d называются эквивалентными, если при равных n и P приращенные суммы также равны. При расчете по процентной ставке

S₁ = P(i+ni).

При расчете по дисконтной ставке

P₂ = S (1-nd)^-1 или S = P₂(1-nd).

По определению

P(1 + ni) = P(1 - nd)^-1.

Откуда i_э = d / (1-nd). d_э = I / (1+ni).

где i_э и d_э - эквивалентные ставки (nd < 1).

Задача 9. Банк А выдает кредиты под 5,6% годовых. Банк Б предоставляет ссуды с дисконтной ставкой 3,2%. В какой банк заемщику выгоднее обращаться за кредитом, если срок ссуды 2 года?

Решение.

1. Дисконтную ставку банка Б преобразуем в эквивалентную процентную ставку.

i_э = d / (1-nd) = 0,032(1-2*0,032) =0,02995.

Следовательно, банк А предоставляет кредиты на более выгодных для заемщика условиях.

6. Эффективная процентная ставка

Процентные ставки начисляются по различным схемам. Для того чтобы вкладчик мог выбрать наиболее выгодный вариант целесообразно рассчитать годовую ставку, которая бы имела место, если бы проценты начислялись один раз в год при неизменном годовом доходе вкладчика.

Например. По вкладу сложные проценты начисляются ежемесячно при годовой ставке i. Тогда алгоритм расчета неизвестной эффективной ставки такой:

,

где х – неизвестная эффективная ставка (по определению она всегда годовая).

7. Наращенная сумма и инфляция

Задача 10. По вкладам банк начисляет 7 процентов годовых (i = 0,07). Инфляция (снижение покупательной способности рубля, изменение масштаба рубля) составляет 6 процентов за год (r=0,06). Процентные суммы начисляются один раз в год по формуле сложных процентов. Какая реальная сумма будет накоплена (S₀) за 8 лет (n=8), если величина вклада 120 тыс. руб. (p=120)?

Решение.