Звено запаздывания

Также как и усилительное звено передаёт сигнал со входа на выход без искажения его формы. Однако все мгновенные значения входной величины выходная величина принимает с некоторым отставанием (запаздыванием). Таким свойством обладают многие элементы автоматических систем: конвейеры, ленточные питатели и трубопроводы, по которым подаются различные материалы (сырьё, топливо) в технологические аппараты. Запаздывание имеют и сами технологические аппараты, в которых из-за больших размеров происходят распределённые в пространстве процессы массообмена (шаровые мельницы, сушильные барабаны) и теплопередачи.

Уравнение звена запаздывания

, (5.50)

где τ – длительность запаздывания.

Уравнение (5.50) относится к классу особых уравнений со смещённым (запаздывающим) аргументом.

Переходную функцию получим, подставив в (5.50) :

, (5.51)

а подставив , получим импульсную переходную функцию (рис. 5.13)

y

τ

h (t)

x

t

a)

t

δ(t)

t

x

б)

y

t

τ

, (5.52)

Рис. 5.13. Временны́е характеристики запаздывающего звена:
а) – переходная функция; б) – импульсная переходная функция

Применяя теорему запаздывания (см. п. 5, табл. 4.2) запишем уравнение (5.50) в изображениях по Лапласу:

.

Откуда

. (5.53)

Амплитудно-фазочастотная характеристика

(5.54)

представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом равным, единице (рис. 4.19, а)

Из показательной формы АФЧХ (5.52) следует, что

, (5.55)

а

(5.56)

(рис. 4.19, б).

Характеристики (5.55) и (5.56) могут быть получены и через реальную и мнимую части тригонометрической формы АФЧХ (5.54):

,

.

Запаздывание ухудшает устойчивость САУ и делает их трудноуправляемыми.

Если звено запаздывания входит в контур системы управления, то характеристическое уравнение системы будет не простым алгебраическим, а трансцендентным. Решение трансцендентных уравнений связано с большими трудностями. Поэтому трансцендентную передаточную функцию раскладывают в ряд Паде и, учитывая только два или три члена ряда, приближённо заменяют её дробной рациональной функцией

,

или

.

Другой способ аппроксимации звена запаздывания, удобный для физической реализации, является представление его в виде последовательного соединения n апериодических звеньев первого порядка с одинаковыми постоянными времени :

в)

б)

a)

L (ω)

lgω

ωτ

jQ (ω)

Р (ω)

А (ω)=1

(n= 0,1,2,…)

A

ω

φ

ω

. (5.57)

Рис. 5.14. Частотные характеристики звена запаздывания

6. ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

6.1. Правила преобразования структурных схем САУ
при последовательном согласно-параллельном
и встречно-параллельном (с обратной связью)
соединении звеньев

Для расчёта САУ необходимо знать их уравнения статики и динамики. Эти уравнения можно получить на основе уравнений элементов, образующих систему. Сначала находят общую (эквивалентную) передаточную функцию системы, а затем соответствующее уравнение динамики. Для этого используют три главных правила преобразования структурных схем:

1. Передаточная функция последовательно соединённых звеньев равна произведению передаточных функций звеньев

W 1

y

W 2

х

. (6.1)

2. Передаточная функция параллельно соединённых звеньев (согласно-параллельное) равна сумме передаточных функций звеньев

W 1

y

W 2

х

. (6.2)

3. Передаточная функция соединения с отрицательной (положительной) обратной связью равна передаточной функции прямой цепи (W _П), делённой на единицу плюс (минус) произведение передаточных функций прямой цепи и цепи обратной связи (W _OC)

W П

y

W ОС

х

y ОС

, (6.3)

т.е. при отрицательной ОС «+», при положительной «‑»

Правила преобразования структурных схем с перекрёстными связями.

С помощью правил (6.1)–(6.3) можно преобразовать любую схему САУ, не содержащую перекрёстных связей, к одноконтурной схеме. Если система уравнений многоконтурная и содержит перекрёстные связи, то для её свёртывания к одноконтурной схеме кроме трёх главных правил (6.1)–(6.3) приходится применять вспомогательные правила структурных преобразований (табл. 6.1), которые позволяют избавиться от перекрёстных связей.

Таблица 6.1

Вспомогательные правила структурных преобразований

Операция	Исходная схема	Эквивалентная схема
1. Перестановка узлов разветвления	х х 1= х х х 2= х	х х 1= х х х 2= х
2. Перестановка сумматоров	х 1 х 1– х 2 у х 2 - х 3 у = х 1 – х 2 + х 3	х 1 х 1+ х 3 х 2 - х 3 у у = х 1 + х 3 – х 2
3. Перенос узла разветвления через звено вперёд	W y х х	W y х х W -1

Продолжение таблицы 6.1

Операция	Исходная схема	Эквивалентная схема
4. Перенос узла разветвления через звено назад	W y х у	W y х у W
5. Перенос сумматора через звено вперёд	х 1 у х 2 W	х 1 у х 2 W W
6. Перенос сумматора через звено назад	х 1 у х 2 W	х 1 у х 2 W W -1

у

С

W 1

W 4

W 2

W 3

А

В

W 6

W 5

-

-

у

х

W 1

W 4

W 2

W 3

А

В

W 6

W 2

-

-

W 5

W Э1

W Э2

Пример 1. Преобразовать в одноконтурную структурную схему

у

х

W Э1

W Э2

W 6

-

Пользуясь правилом 3 (табл.6.1) можно перенести узел разветвления со входа на выход звена W ₃, добавив перед звеном W ₆ обратную передаточную функцию . С помощью правила 5 можно сумматор А перенести на выход звена W ₂, включив последовательно с W ₅ звено W ₂, а затем по правилу 2 поменять местами сумматоры А и В. В результате получится схема без перекрёстных связей

, .

6.3. Передаточные функции системы управления
частотой вращения двигателя постоянного тока

Показанную на рис. 6.1 САУ широко используют для автоматической стабилизации или программного регулирования частоты вращения механизмов и машин.

В качестве исполнительного устройства в системе применён генератор Г. Возбуждение генератора осуществляется от тиристорного преобразователя ТП. Управляющий сигнал U _у, действующий на входе преобразователя, формируется регулятором Р в зависимости от величины и знака сигнала рассогласования . Формирование сигнала U _у может осуществляться по простейшему пропорциональному закону (Р – просто операционный усилитель, статическая система) или по более сложному закону (например, пропорционально-интегральному).

n

W Р

W ТГ

W ТП

W Г

-

U З

W Д

U Р

U y

U В

U ТГ

е Г

А

М С

а)

Р

-

U З

+

+

-

U Р

Un

U y

ТП

~

U В

+

-

Д

ДТ

ТГ

+

-

М С

n

M

+

-

б)

Рис. 6.1. Автоматическая система управления частотой
вращения двигателя постоянного тока.

а) – принципиальная схема; б) – структурная схема

Кроме главной обратной связи по частоте вращения применяют обратные связи по напряжению или току якорной цепи (пунктирная линия). Будем рассматривать только главную обратную связь.

На структурной схеме рис. 6.1, б двигатель представлен в виде двух звеньев W _Д и , выходные величины которых суммируются.

Передаточная функция двигателя по каналу управления

, (6.4)

по возмущающему воздействию – моменту нагрузки М_С

. (6.5)

Передаточная функция генератора

. (6.6)

Тиристорный преобразователь VS по сравнению с двигателем М и генератором G может рассматриваться как практически безинерционное звено

.

Будем считать, что регулятор пропорциональный

.

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию

(при получении W _З принимается М _С = const или Δ М _С = 0).

Для получения передаточной функции системы по каналу возмущения

n

W Р

W ТГ

W ТП

W Г

-

W Д

А

М С

принимают U _З = const или Δ U _З = 0, и схему 6.1, б удобнее представить в виде

.

После подстановок в (6.7) и (6.8) передаточных функций отдельных элементов получим

, (6.9)

, (6.10)

где .

При одновременном действии задающего и возмущающего воздействий уравнение динамики системы в операционной форме будет иметь вид:

, (6.11)

.

Подставив в (6.8) р = 0, с учётом (6.9) и (6.10) получим уравнение статики системы:

.

7. ТИПОВЫЕ ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ.
ИХ СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА