Апериодическое звено первого порядка

Уравнение апериодического звена первого порядка:

, (5.8)

где K – коэффициент усиления;

Т – постоянная времени, характеризующая инерционность звена.

Переходная функция апериодического звена первого порядка:

(5.9)

является результатом решения уравнения (5.8) при .

y

T

h (t)

x

t

a)

ω(t)

x

б)

y

K

0,63 K

T

t

t

t

T

2 T

3 T

0,95 K

T

График переходной функции апериодического звена первого порядка показан на рис. 5.3, а.

Рис. 5.3. Временны́е характеристики апериодического звена первого порядка:
а) – переходная функция; б) – импульсная переходная функция

Особенностью переходной функции апериодического звена первого порядка является то, что касательная, проведённая в любой точке, даёт одинаковую величину подкасательной, равную постоянной времени Т.

При t = T h (t) = 0,63· K, а при t = 3 T h (t) = 0,95· K. В приближённых расчётах обычно принимают, что при t = 3 T переходной процесс практически закончился.

Дифференцируя h (t) в (5.9) получим импульсную переходную функцию:

. (5.10)

График, соответствующий (5.10), показан на рис. 5.4, б.

Получим передаточную функцию, применив преобразование Лапласа к обеим частям ДУ (5.8):

,

откуда

. (5.11)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика:

.

a)

б)

в)

L (ω)

lgω

lgωC

–20

ω =0

Р (ω)

ωС=1/ Т

K /2

K /2

ω =∞

jQn (ω)

φ(ωС)= –45°

K

A (ω)

ω

ωС=1/ Т

K

ω

φ(ω)

–45°

–90°

ωС

АФЧХ апериодического звена первого порядка представляет собой полуокружность с центром в точке (K /2; j 0) и диаметром, равным K (рис. 5.4, а).

Рис. 5.4. Частотные характеристики апериодического звена первого порядка:
а) – АФХ; б) – АЧХ и ФЧХ; в) – ЛАЧХ

Выражение для АЧХ, согласно (5.11) и (4.12), имеет вид

. (5.12)

Из рис. 5.4, б видно, что гармонические сигналы малой частоты (ω < ω _C) пропускаются звеном хорошо (А (ω) близка к K). Сигналы большой частоты (ω > ω _C) плохо пропускаются (А (ω) существенно меньше K). Чем больше Т, т.е. чем больше инерционность звена, тем меньше АЧХ вытянута вдоль оси частот или тем у́же полоса пропускания частот.

Таким образом, апериодическое звено первого порядка является фильтром низкой частоты.

Ширину полосы пропускания ω _П звеньев и систем определяют по ординате А (ω _П) = (0,05…0,1) K. Для рассматриваемого звена ω _П = (10…20), ω _С = (10…20)/ Т.

ФЧХ, согласно (5.11) и (4.13), равна

. (5.13)

График функции (5.13) показан на рис. 5.4, б. Чем больше частота входного сигнала, тем больше отставание по фазе выходной величины от входной. Максимально возможное отставание равно –90°. При частоте сопряжения сдвиг фаз равен –45°.

ЛАЧХ звена:

. (5.14)

При расчётах САУ широко используют асимптотическую характеристику L_a (ω), представляющую собой ломаную в виде двух асимптот (рис. 5.4, в). Первая асимптота (низкочастотная) получается при малых частотах, когда составляющей Т ²ω² в (5.14) можно пренебречь, т.е.

. (5.15)

Низкочастотная асимптота от частоты не зависит и представляет собой прямую, параллельную от частот и отстоящую от неё на расстоянии 20lg K.

Вторая асимптота (высокочастотная) заменяет точную характеристику при больших частотах, когда и единицу под корнем можно не учитывать. Выражение для этой асимптоты имеет вид:

. (5.16)

Эта амплитуда зависит от частоты. В логарифмической системе координат она представляет собой прямую, имеющую отрицательный наклон и проходящую через точку с координатами , . Подставляя в формулу (5.16) два значения частоты: ω₁ и ω₂=10ω₁, можно убедиться, что приращение высокочастотной амплитуды, проходящей через одну декаду, равно –20 дБ. Значение сопрягающей частоты ω _С, при которой пересекаются асимптоты, равно 1/ Т.

Инерционными звеньями первого порядка являются элементы, которые могут накапливать и передавать энергию или вещество. В электрических элементах накопителем энергии электрического поля является конденсатор, а магнитного поля – индуктивность. В механических элементах потенциальная энергия накапливается в пружинах и других упругих элементах, а кинетическая – в движущихся массах.