Производная по направлению

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой области . Пусть – некоторая точка области , – вектор любого направления. Перейдем из точки в некоторую точку в направлении вектора . Функция получит при этом приращение .

Разделим приращение функции на длину отрезка . Полученное отношение дает среднюю скорость изменения функции на участке . Тогда предел этого отношения при (если он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции в точке в направлении вектора .

Определение. Предел называется производной функции в точке по направлению вектора .

Производную функции в точке по направлению вектора обозначают как или .

Помимо величины скорости изменения функции, позволяет определить и характер изменения функции в точке в направлении вектора , т.е.:

· если , то функция в точке в направлении вектора возрастает;

· если , то функция в точке в направлении вектора убывает;

· если , то в направлении вектора функция не изменяется.

Таким образом, направление вектора – есть направление линии уровня функции, проходящей через точку (вектор является касательным к линии уровня в точке ).

Замечание. Частные производные функции являются частным случаем производной по направлению: - это производная функции по направлению вектора , – производная функции по направлению вектора .

Теперь получим выражение для производной функции по направлению . Предположим, что функция дифференцируема в точке . Тогда

,

где — бесконечно малые функции при .

Положим = , тогда:

, ,

где – направляющие косинусы вектора (Рис….).

Рис….

Следовательно:

.

Разделив последнее выражение на и перейдя к пределу при , получим выражение для производной функции по направлению в точке :

=