Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим функцию . Придадим переменной приращение , а переменной — приращение . Тогда функция примет новое значение . Величина называется полным приращением функции в точке .
Если придать приращение только переменной или только переменной , то получим частные приращения функции:
,
.
Определение. Если существует конечный предел
то он называется частной производной по переменной (по переменной ).
Частную производную обозначают или ( или ).
Замечание. Поскольку частная производная функции многих переменных является обычной производной функции одной переменной, то она обладает всеми свойствами производных, которые были сформулированы ранее.
Пример. Найти частные производные функции . При нахождении частной производной по считаем постоянным: . Аналогично при нахождении частной производной по : . |
Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих переменных, то есть
или .
Определение. Произведение частной производной на произвольное приращение аргумента называется частным дифференциалом по функции и обозначается как
.
Аналогично определяется частный дифференциал по :
.
Таким образом, полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов
.
Определение. Функция называется дифференцируемой в точк е , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в следующем виде:
или
где — бесконечно малые функции при .
Отсюда следует, что полный дифференциал функции нескольких переменных, так же как и в случае функции одной переменной, представляет собой главную линейную относительно и часть полного приращения функции в точке :
.
Для функции произвольного числа переменных полный дифференциал имеет вид:
.
Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по обеим независимым переменным:
, .
Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Пусть функция определена в -окрестности точки . Если при этом существуют частные производные и для любого , причем и непрерывны в точке , тогда функция дифференцируема в точке .
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 218 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!