Пример 4.10

%----------Начало программы Pr_04_10 --------

%Построение частотных характеристик располагаемой системы

% в функции круговой частоты и псевдочастоты

h1=tf(5,[1,0,0]) %Передаточная функция располагаемой системы

T=0.1 %Интервал дискретности.

hh=c2d(h1,T) %Определение Z-передаточной функции

%располагаемой системы.

hn=tf(5*[-0.05,1],[1,0,0]) %Передаточная функция

figure(1) %располагаемой системы

%в функции псевдочастоты

bode(hn,h1),grid on %Частотные характеристики располагаемой

%системы в функции круговой частоты

%и псевдочастоты

ЛАЧ характеристики располагаемой непрерывной системы, построенной в функции круговой частоты (h1A), и ЛАЧ характеристики ее дискретного аналога (hA), построенного в функции абсолютной псевдочастоты, представлены на рис.4.25. Из характеристик рис.4.25 следует, что в области существенных частот выполнения условия . Следовательно, параметр выбран правильно. Если бы характеристики h1A и hA в области существенных частот отличались, то следовало бы уменьшить и повторить расчеты.

Как было указано раньше работать с фазовыми характеристиками дискретных систем, построенных программами MatLab в функции псевдочастоты, затруднительно. Об этом свидетельствуют и фазовые характеристики, представленные на рис.4.25: кривые hФ и h1Ф имеют разные начала отсчетов.

Требования к желаемым свойствам проектируемой системы могут быть заданы графиками (желаемымим логарифмическими характеристиками) или аналитически (передаточными функциями). Синтез по ЛАЧ характеристикам рассмотрим в следующем параграфе. Для системы, настроенной на симметричный оптимум, передаточная функция желаемой системы имеет вид

. (4-60)

Учитывая соотношение , получаем передаточную функцию корректирующего устройства в функции круговой частоты

. (4-61)

Так как на участке средних частот выполняется соотношение , то характеристика дискретного корректирующего устройства в функции абсолютной псевдочастоты должна определяться выражением, совпадающим с выражением (4-61)

. (4-62)

Рис.4.26. Структурные схемы устройств (А,С- с дискретной коррекцией, Б- непрерывной коррекцией).

Для реализации выражения (4-62) на Z - плоскости необходимо выполнить ряд преобразований: от абсолютной псевдочастоты перейти к относительной псевдочастоте, а затем записать полученные выражения на плоскости Z

;

При , получим:

. (4-63)

Корректирующее устройство (4-62) имеет участок с наклоном +20 дб/дек равный одной декаде: дифференцирование начинается при рад/сек, а заканчивается при рад/сек. Диапазон дифференцирования можно увеличить до двух декад, используя передаточную функцию

. (4-64)

Дискретное корректирующее устройство, соответствующее выражению (4-64), будет получено, если к нему применить преобразования (4-62) и (4-63)

. (4-65)

Структурные схемы с корректирующими устройствами (4-61), (4-3) и(4-65) приведены на рис.4.26. На рис.4.26 представлены структурные схемы с коррекциями: аналоговой (рис.4.26, Б) и дискретной (рис.4.26,С), а на рис.4.27 результаты моделирования. Близость переходных характеристик систем (непрерывных и дискретных) свидетельствует о удовлетворительном качестве методике синтеза. Если принять аналоговую систему за эталон, то в синтезируемых дискретных системах переходные характеристики могут иметь даже меньшее перерегулирование, что объясняется правильным выбором диапазона дифференцирования. Так как методика не дает четких указаний о выборе частот спряжений дифференцирующих звеньев, то их параметры корректируются результатами моделирования.

Рис.27.Переходные характеристики систем, соответствующие структурным схемам рис.4.26.

Графики рис.4.27 показывают, что ввод запоминающего блока увеличивает перерегулирование (кривая 2) по сравнению с непрерывной системой (кривая 1). Однако с вводом корректирующего устройства (4-64), которое, по сравнению с корректирующим устройством (4-63), расширяет диапазон дифференцирования на одну декаду, удается повысить качество регулирования (кривая 3).

Рассмотрим еще один пример. Задана цифровая система, соответствующая структуре рис.4.4. Располагаемая часть системы регулирования задана непрерывной передаточной функцией

и дискретной, реализующей работу интегратора

. (4-66)

Для выбора дискретного корректирующего устройства необходимо выражение (4-66) записать в функции абсолютной псевдочастоты

.

Интервал дискретности выбран правильно и в области существенных частот ЛАЧ характеристики дискретного интегратора совпадают с характеристиками непрерывного интегратора. Тогда передаточная функция располагаемой части системы с учетом передаточной функции ЭВМ, описывается выражением

.

На рис.4.28 представлены ЛАЧ характеристики, позволяющие определить дискретное корректирующее устройство

Так как ЛАЧ характеристики непрерывной и дискретной системы в области существенных частот при совпадают, то последовательное корректирующее устройство определяется выражением . Исходя из частот сопряжения, определенных из рис.4.26, находим передаточную функцию корректирующего устройства

. (4-67)

Осуществляем в выражении (4-67) подстановку и записываем Z-передаточную функцию корректирующего звена на Z плоскости

. (4-68)

Следует отметить, что характеристики системы регулирования существенно зависят от количества значащих цифр, представляющих Z-передаточные функции. Исследуем этот вопрос и выражение (4-68) приведем к следующему виду

(4-69)

Так как , то в последнем выражении пренебрежем вторым слагаемым

. (4-70)

Выражение (4-69) определяет передаточную функцию корректирующего устройства без учета ЭВМ. Зная передаточную функцию ЭВМ (4-66), определяем, с учетом упрощений, полную передаточную функцию корректирующего устройства

. (4-71)

Раскроем выражение (4-69) без упрощений числителя. С учетом передаточной функции ЭВМ оно принимает вид

. (4-72)

Сравнения выражений (4-71) и (4-72) показывают, что полином числителя выражения (4-71) незначительно отличается от полинома числителя выражения (4-72). Однако это отличие существенно влияет на статические и динамические характеристики системы регулирования (рис.4.29).

Рис.4.30. Переходные процессы, соответствующие структурным схемам рис. 4.29 (1-система с непрерывным корректирующим устройством, 2-с дискретным корректирующим устройством, рассчитанным по приближенной формуле, 3- с дискретным корректирующим устройством, рассчитанным по более точной формуле).

Переходные процессы, соответствующие схемам рис.4.29, представлены на рис.4.30. Непрерывная система (вариант А) имеет перерегулирование около 16 % и нулевую статическую ошибку. Время переходного процесса около 3 сек. Дискретная система (вариант В) не имеет перерегулирование, более быстрый переходной процесс, но значительную статическую ошибку. При более точном вычислении

корректирующего устройства (вариант С) дискретная система по своим динамическим и статическим свойствам приближается к непрерывной системе.

Таким образом, при расчетах дискретных систем следует использовать большее количество значащих цифр, чем при расчетах непрерывных систем, что следует учитывать не только при проектировании, но и при реализации цифровых устройств