Определение параметров цифровых регуляторов

Сложность расчета и исследования цифровых систем управления непрерывными объектами, даже в линеаризованном виде (без учета квантования по уровню), определяется в значительной степени тем, что объект управления описывается дифференциальными уравнениями или передаточными функциями в области комплексного аргумента , а алгоритм работы ЭВМ – разностными уравнениями или передаточными функциями от аргумента дискретного преобразования Лапласа. В зависимости от того, в области какого аргумента рассматривается вся система, разработанные методы анализа и синтеза цифровых систем управления [13, 14] условно можно разделить на две группы.

Первая группа методов предполагает описание всей системы в области комплексного аргумента , поэтому требует дискретной аппроксимации непрерывных объектов.

В методах второй группы система управления полностью рассматривается в области комплексного аргумента (плоскость ). В хорошо разработанной теории линейных систем известны различные методики выбора корректирующих устройств использующие: частотные характеристики [15], корневой годограф [16], интегральные оценки качества [17], соотношения в системах подчиненного регулирования [18] и т.д. Если осуществлять анализ цифровой системы на плоскости P, то опыт расчета и наладки непрерывных систем может в значительной степени использоваться и при расчетах цифровых систем. В этом случае система рассчитывается как непрерывная, определяются параметры непрерывного регулятора, а затем по параметрам непрерывного регулятора определяется дискретная передаточная функция регулятора, т.е. определяется программа работы ЭВМ. Это позволяет ошибки, обусловленные реализацией непрерывных алгоритмов средствами цифровой техники, разделить на два типа и предложить методы их компенсации.

К ошибкам первого типа относятся ошибки от замены непрерывной кривой ступенчатой (ошибки дискретной аппроксимации). Второй тип ошибок учитывает преобразование цифрового сигнала в непрерывный и эффект «чистого» запаздывания на величину (время обработки алгоритма).

Проанализируем ошибки дискретной аппроксимации, а для этого рассмотрим уравнение идеализированного аналогового ПИД-регулятора

, (4-11)

где - коэффициент передачи; - постоянные интегрирования и дифференцирования соответственно.

Для малых тактов квантования непрерывное уравнение (4-11) можно преобразовать в разностное. При этом производная заменяется разностью, а интеграла - суммой. Непрерывное интегрирование может быть заменено интегрированием по методу прямоугольников или трапеций.

При использовании метода прямоугольников получаем

. (4-12)

С помощью выражения (4-12) имеется возможность определить с помощью не рекуррентного и рекуррентного алгоритма. В выражении (4-12) для определения суммы с помощью не рекуррентного алгоритма необходимо помнить все предыдущих значений входного сигнала . Реализации этого алгоритма потребует задействовать ячеек для хранения входных величин и, кроме того, значения каждый раз вычисляются заново, что увеличивает аппаратурные и временные затраты.

Для реализации на ЭВМ более удобен рекуррентный алгоритм, в котором для вычисления текущего значения используется его предыдущее значение и поправочный член. Для получения рекуррентного алгоритма достаточно вычесть из уравнения (4-12) уравнение (4-13), записанное для предыдущего интервала дискретности:

(4-13)

В результате получим:

(4-14)

где,

(4-15)

В рекуррентном алгоритме для определения текущего значения необходимо знать его предыдущее значение и некоторую добавку, определяемую правой частью выражения (4-14). Это выражение показывает, что для реализации рекуррентного алгоритма на ЭВМ требуется стековая память на три ячейки для входного сигнала и стековая память на две ячейки для выходного сигнала . Содержимое ячеек умножается на коэффициенты , которые для малых тактов квантования вычисляются через параметры аналогового ПИД-регулятора в соответствии с выражениями (4-15). Содержимое ячеек обновляется через интервал дискретности . Поэтому .

Таким образом, для вычисления выхода регулятора (ЦВМ) в данный момент времени необходимо провести вычисления по выражению (4-14), т.е. к запомненному выходу регулятора предыдущего интервала дискретности добавить, с весами , сигналы ошибки (входы регулятора) в текущий и два предыдущие моменты времени.

Воспользуемся для аппроксимации интеграла методом трапеций. Тогда дискретное уравнение идеализированного ПИД-регулятора (4-11) запишется следующим разностным уравнением:

(4-16)

Приведя это уравнение к рекуррентному алгоритму, т.е. из уравнения для определения вычитаем уравнение для определения , получим выражение, описывающее динамику дискретного закона управления:

(4-17)

где,

(4-18)

Сравнение выражений (4-14) и (4-15) с выражениями (4-17) и (4-18) показывает, что при изменении метода аппроксимации алгоритм вывода уравнения не меняется, а меняются только численные значения коэффициентов . Таким образом, при малых имеется возможность перейти от непрерывного уравнения (4-11) к разному (4-13), в котором коэффициенты определяются через параметры непрерывной системы , и и зависят от принимаемой величины .

Выразим уравнение (4-14) через дискретное изображение входного и выходного сигналов, а затем определим Z-передаточную функцию регулятора:

;

. (4-19)

Коэффициенты зависят от вида аппроксимации. При прямоугольной аппроксимации они определяются выражением (4-15), а при трапециидальной – выражением (4-18). Тип регулятора зависит от передаточной функции объекта регулирования. Если объект апериодическое звено, то целесообразно применять ПИ-регулятор и поэтому в выражении (4-19) .

Величина входит в выражения, определяющие коэффициенты ,и при уменьшении уменьшаются ошибки первого типа. Теоретическим пределом, ограничивающим уменьшение , являются частота дискретизации, определяемая полосой пропускания системы, и шумы округления, увеличивающиеся при уменьшении и связанные с тем, что нули и полюсы передаточной функции регулятора приближается к единице при [20]. Так как шумы округления зависят от длины разрядной сетки ЭВМ (типа ЭВМ), то их влияние на выбор не рассматривается.

Определим влияние изменения на параметры дискретного регулятора. При этом подчеркнем, что и определяет быстродействие микро ЭВМ (частоту выдачи управляющего воздействия).

Аппроксимация прямоугольная, параметры системы взяты из примера, который будет использоваться в дальнейших расчетах. При этом учитываем, что постоянная времени интегрирования (где - электромагнитная постоянная времени якорной цепи двигателя)

; ; .

№ п.п.
		0,001
	0,003
	0,004
	0,005
	0,006

Результаты расчетов показывают изменение положения нулей дискретного регулятора при изменении : при уменьшении нули приближаются к единице.

Определим параметры ПИ-регулятора при тех же исходных данных, но при трапециидальной аппроксимации.

; .

№ п.п.
	0,001	0,2099	-0,1861
	0,003	0,2338	-0,1622
	0,004	0,2457	-0,1503
	0,005	0,2576	-0,1384
	0,006	0,2696	-0,1264

Ошибки второго типа, связаны с эффектом «чистого» запаздывания и с вводом запоминающего элемента, могут быть определены на основании изучения частотных свойств передаточной функции [21]

. (4-20)

Представим выражение (4-20) в показательной форме

(4-21)

Последнее выражение показывает, что введенные блоки цифровой системы вносят дополнительное фазовое запаздывание.

. (4-22)

Величина запаздывания определяется параметрами , и зависит от круговой частоты . Чтобы можно было пренебречь ошибками второго типа, запаздывание, определяемое выражением (4-22) на частоте среза системы ,

не должно вносить фазовый здвиг, превыший однин градус [21], т.е.

. (4-23)

Если это условие не выполняется, то для компенсации ошибок второго типа в прямой канал регулирования целесообразно ввести дополнительное корректирующее звено

. (4-24)

Причем, коэффициенты и должны быть по модулю меньше единицы, и, кроме того, коэффициент должен быть расположен правее коэффициента . Точное значение и можно определять по разным методикам. Если расчеты ведутся графическим методом, то целесообразно использовать логарифмические частотные характеристики желаемой и располагаемой системы, если расчеты ведутся аналитическим методом, то используются передаточные функции желаемой и располагаемой систем регулирования. Более детально этот вопрос будет рассмотрен в последующих параграфах.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий целесообразность ввода корректирующего звена. Время вычисления управляющего воздействия составляет . Тогда, резервируя времени на связь с внешним устройством, можно считать минимально возможным период дискретности . Частота среза средних по быстродействию систем составляет . Подставим полученные данные в выражении (4-22) и определим

.

Расчеты показывают, что условия (4-23) не выполняются. Следовательно, необходимо либо увеличить быстродействие микро ЭВМ либо, что значительно дешевле, ввести дополнительное корректирующее устройство.