Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1° х + у = у + х (коммутативность)

2° (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность)

3° аксиома нуля $ q ÎV: x + q = x

4° " x Î V, $ (- x) ÎV: x + (- x) = q.

(- x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5° l(mх) = (lm)х (ассоциативность)

6° (l + m)х = lх + mх (дистрибутивность относительно скаляра)

7° l(х + у) = lх + lу (дистрибутивность относительно множества)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Зам. как следствие вытекает из 1-2 свойство 1x=x

Рассмотрим на конкретных примерах:

1. – пространство строк из n чисел

x+yº(x₁+y₁,…,x_n+y_n),

lx=(lx₁,…, lx_n),

q=(0,…,0) (q=qx),

(-x)=(-1)x=(-x₁,…,-x_n) => вещественное пространство является векторным.

2. M_nxm– множество всех матриц размерности n´m с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А => M_nxm – векторное пространство.

3. C[a,b]– множество всех непрерывных на [a,b] функций (линейных и нелинейных) с обычными линейными операциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент -f(x) – противоположная функция

-f=-f(x)=-1 f(x)= -f(x) => V – ВВП.