Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть функция определена на интервале . - приращение аргумента. .
.
Рассмотрим предел . Если этот предел существует и конечен, то функция называется дифференцируемой в точке х, а значение предела называется производной от этой функции: .
Правая производная: . Левая производная: .
Определение: Проведем секущую к графику функции через точку М0(х0, f(x0)) и . Угол между секущей и положительным направлением оси х обозначим через . Предельное положение секущей при , если оно существует называется касательной к кривой в точке М0. угол между касательной и осью х обозначим через b.
Из треугольника М0МА следует, что угол , тогда предел . (касательная будет стремиться к секущей).
С геометрической точки зрения, производная угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке М0(х0, f(x0)) к оси х.
Можно показать, что функция является дифференцируемой тогда и только тогда, когда ее приращение представимо в виде:
, - бесконечная малая при .
Если функция дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Правила вычисления производных:
Доказательство:
Если каждый из этих пределов существует и конечен: , то .
Теорема: если функции u(x) и v(x) являются дифференцируемыми в точке х, то функция u(x)+v(x) также является дифференцируемой в этой точке и справедливо равенство .
.
Доказательство:
, учитывая, что , то получим, что
Предел каждого из слагаемых существует, v(x) и u(x) не зависят от , следовательно это константы, - производные, - бесконечно малая, следовательно .
Формулы:
Производная сложной функции: Если функция х=х(t) дифференцируема в точке t0, а функция дифференцируема в точке x0 = x(t0), то функция y(t)=f(x(t)) будет дифференцируема в точке t0 при этом .
Если функция дифференцируема в точке x0, то она распишется так: (*).
.
Утверждение: если функция дифференцируема в точке, то она в ней непрерывна.
x(t) дифференцируема в точке x0, следовательно x(t) непрерывна в точке x0, следовательно , следовательно .
Если (*) разделим на , то получим , так как бесконечно малая.
.
Формула Тейлора: пусть функция f(x) имеет производные до порядка (n+1) включительно в окрестности точки x0, тогда справедлива формула Тейлора:
.
Rn(x) – остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: . Точка с лежит между х0 и х.
Остаточный член в форме Пеано: - бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x – x 0) n
Дифференцирование функции многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал. Производная от сложных функций, градиент, направление убывания, геометрический смысл градиента.
Пусть функция z=z(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x0,y0): U(x0,y0) Точка (x0+Δx, y0) ЄU(x0, y0).
Рассмотрим:
Если этот предел существует и конечен, то функция называется дифференцируемой по х в точке (x0, y0), а значение предела называют частной производной функции z по переменной х в точке (x0, y0):
Из определения производной видно, что остальные аргументы не меняются, т.е. являются константами, при вычислении производной по х.
Функция z(x,y) называется дифференцируемой по совокупности аргументов или просто дифференцируемой в точке (x0,y0), если ее полное приращение в точке (x0,y0) представлена в виде:
где является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем
при
|
Бесконечно малая более высокого порядка малости, т.е
Покажем, что ,а
Пусть Δy=0 => при
Разделим на Δx и перейдем к пределу.
Если функция z(x,y) дифференцируема по совокупности аргументов, то она дифференцируема по каждому из аргументов в отдельности, при этом ,
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции): Если функция z=z(x,y) имеет частные производные , в некоторой окрестности U(x0,y0) точки (x0,y0) и эти частные производные непрерывны в самой точке (x0,y0), то функция z дифференцируема в точке (x0,y0) по совокупности аргументов.
Главная линейная часть полного приращения функции называется ее дифференциалом.
(если x, y –независимые переменные)
Если функция z(x,y) дифференцируема по совокупности аргументов в точке (x0,y0), то она непрерывна в этой точке по совокупности аргументов. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Геометрический смысл дифференцируемости:
С геометрической точки зрения, дифференцируемость функции z(x,y) по совокупности аргументов в точке (x0,y0) означает существование невертикальной касательной плоскости к поверхности z(x,y) в точке М(x0,y0, z((x0,y0)).
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 1154 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!