Системы линейных алгебраических уравнений. Условие сущ-ния решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система реш-й

СЛАУ называется система n -го порядка: (1)

СЛАУ можно представить в виде матрицы АХ = В, где

– известные коэффициенты системы (1)

– известные правые части системы (1)

– неизвестные (искомые) величины

· Набор (n -мерный набор) называется решением СЛАУ, если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство (набор удовлетворяет (1)).

· Если система обладает хотя бы 1 решением, она называется совместной.

· Если имеется лишь единственное решение, то она называется определенной.

· Если имеется более 1 решения, то система называется неопределенной.

· Если нет ни одного решения, то она называется несовместной.

· Если решение одной системы является решением другой системы, то системы называются равносильными.

А – основная матрица, – расширенная матрица

Условия совместимости: Т. Кронекера-Капелли.

Система совместна (имеет хотя бы 1 реш-е) ó

Док-во: () $ решение (2)

А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (2) в виде:

–

линейная комбинация r базисных столбцов максимальное число линейно независимых столбцов . Аналогично в обратную сторону.

Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n -го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов): ,

– определитель, полученный из основного путем замены j -го столбца столбцом из правой части В.

Док-во:

(для n = 3) Умножим на и складываем правые и левые части:

Аналогично для .

=> $ A^-1 => X=A^-1B – формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det¹0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример

– «укороченная» система