Некоторые сведения из страховой практики

Отметим, что в личном страховании (жизни и пенсии) вероятности существенно зависят от t, в имущественном эта зависимость уменьшается (но и здесь вероятность совершить аварию на старом автомобиле больше, чем на новом), и это позволяет теоретически считать их одинаковыми в це­лях упрощения расчетов. Однако, в этих видах страхования часто практикуется заключение договоров только на один год, что снижает актуальность этих упрощений. Но в качестве упражнения это полезно.

На практике актуарные расчеты проводятся по несколько иной схеме. Сначала на основе математического ожидания предстоящей выплаты возмещения определяют единовременную цену страховки (которую надо заплатить при заключении контракта). А затем, уже на основании этого единовременного взноса, с помощью аппарата ренты находят размер периодических взносов.

Согласно общим правилам страхования эти периодические взносы должны вноситься в начале каждого периода, поэтому, чем раньше внесены деньги, тем дольше они «работают», то есть приносят больший доход, следовательно, номинально внесенная сумма при этом уменьшается. Различие тем больше, чем выше процентная ставка.

Замечание. В простейшей модели страхования предполагается, что если страховой случай произошел, то величина ущерба фиксирована и, следовательно, выплачивается одинаковое возмещение. Но это – идеальная ситуация, а в действительности положение иное. Даже в качественно однородном портфеле страховые случаи могут привести к различным величинам ущерба (например, при страховании от пожара или при автомобильной аварии не по вине застрахованного). Поэтому возникает задача оценки распределения величины ущерба, и соответственно, величины возмещения.

Перед актуарием возникает задача поиска компромисса между двумя противоположными стремлениями. С одной стороны, разбиение всего портфеля на мелкие группы повышает однородность каждой из них, и тем самым несколько снижает элемент случайности в каждой группе. С другой стороны, в более крупной группе отклонения чаще компенсируют друг друга (а не складываются), что повышает надежность.

Кроме того, каждого клиента интересует только его собственный договор со страховой компанией. А компанию интересует весь портфель договоров. Поэтому возникает задача определения суммарного ущерба по всему портфелю и, следовательно, суммарного возмещения. Здесь в актуарных расчетах используется аппарат «свертки функций», который позволяет получить аналитическое решение (функцию распределения величины суммарного ущерба). Следует учитывать также и возможность численного моделирования на ПЭВМ.

Наконец, особое внимание приходится уделять проблеме больших рисков, не рассмотренных в приведенном примере. К таким случаям относятся, например, пожар в музее или во дворце. Оценка возможного ущерба в этом случае должна проводиться особенно тщательно и комплексно, и с самого начала предполагать распределение риска путем перестрахования.

Отметим, что с математических позиций эти случаи представляют собой резко выделяющиеся наблюдения и во избежание их сильного искажающего влияния должны быть удалены из выборки и анализироваться отдельно.

Таким образом, перед актуарием возникает двухэтапная задача. Сначала целесообразно разбить весь качественно неоднородный портфель на несколько однородных «субпортфелей», в каждом из которых вариация ущерба не очень велика и величина ущерба подчиняется одному и тому же закону распределения.

А затем попытаться объединить результаты, полученные по каждому из субпортфелей. Эта задача также нетривиальна, поскольку требует оценки не только среднего совместного ущерба, но и величины отклонения от этого среднего и вероятности такого отклонения, то есть речь идет об исследовании совместного распределения.