Эквивалентность обязательств сторон

Из выведенного в конце предыдущего параграфа условия следует, что надо приравнять две суммы по моменту t: в левой части суммируются произведения вероятности наступления страхового случая в промежутке (t, t + dt) на сумму накопленных к этому моменту взносов, а в правой части – произведения средней выплаты M(S) на те же вероятности. Тогда справа M(S) умножается на вероятность того, что страховой случай произойдет на (0, Т), то есть правая часть определена полностью.

В левой части неизвестен размер премии R. Его можно определить по известной плотности распределения вероятности и множителю (1+ i) ^t. Ситуацию можно проиллюстрировать на следующем рисунке 10.

Рис. 10

Отмечены плотность вероятности, накопленная сумма и произведение плотности на размер выплаты. Видно, что коэффициент пропорциональности уменьшается с ростом t, то есть речь идет о современной цене. Также видно, что сначала выплата превышает накопленную сумму (риск страховщика), а затем накопленная сумма превышает выплату (риск страхователя). Однако площади под этими двумя кривыми равны – принцип равенства рисков (эквивалентности обязательств).

Отметим, что учитывается процентная ставка i, и сравниваются «приведенные» площади. Именно из этого условия и определяется размер рисковой премии.

Замечание. Для иллюстрации принципа эквивалентности обязательств сторон рассмотрим договор, заключенный на n лет. Стороны договорились проводить расчеты при процентной ставке i. Страховые премии вносятся в начале года, а выплата возмещения осуществляется в конце года, в течение которого произошел страховой случай. При этом страховая сумма выплачивается полностью.

На основании имеющейся информации страховщик оценил вероятности случайных событий At, состоящих в том, что страховой случай произойдет именно в t -й год с момента заключения договора. (Для простоты считаем, что договор заключен 01.01, тогда момент выплаты 31.12 совпадает с моментом подведения итогов работы компании за год.).

Поскольку временные интервалы (календарные годы) не пересекаются, то рассматриваемые события – несовместны. Кроме того, по договору возмещению подлежит лишь один страховой случай. (При страховании жизни или пенсии это очевидно, а в имущественном страховании после выплаты возмещения действие договора прекращается, но может быть составлен новый договор.)

Наконец, необходимо учесть, что страхового случая может и не наступить за эти n лет, поэтому полная группа событий должна содержать и соответствующее событие А₀.

Таким образом, если n =1, то страховщик обязательно получит взнос R (с вероятностью 1), поэтому M(A)= R, а для выплаты возмещения: M(S)= S · p ₁· v +0· q ₁· v = S · p ₁· v. Отсюда M(A)=M(S), т.е. R ₁= S · p ₁· v.

На практике страховщик часто назначает R= S · p ₁>R₁.

Если n =2, то страхователь первую премию вносит обязательно, а вторую только, если за первый год не произошло случая. Т.е. он внес либо одну премию с вероятностью p ₁, либо две премии с вероятностью (1– p ₁)= q ₁

Поэтому, М(А)= R · p ₁+ R (l+ v)·(l- p ₁)=R(l+v)–R· v · p ₁.

Первое слагаемое указывает на дисконтирование вносимых премий, а вто­рое – на риск недополучения некоторых премий.

Аналогично,

M(S)=S· v · p ₁+S· v · v · p ₂+0· v · v ·(1– p ₁– p ₂)=S· v ·(p ₁+ p ₂· v)

Тогда, R₂=S· v ·(p ₁+ p ₂· v)/(l+ v–v · p ₁).

Если n >2, то страхователь вносит суммарную дисконтированную премию: М(А)= R · p ₁+ R (l+ v)· p ₂ +…+ R (l+ v +…+ v^{n– 2})· p_{n –1}= R (l+…+ v^{n –1})·(l– p ₁–… p_{n –1})= R · К

M(S)= S · v · p _l+ S · v ²· p ₂+…+ S · vⁿ · p_n = S · L.

Приравняв M(A)=M(S), получим R = S ·(L / K), где L / K – "ставка".

Очевидно, R зависит от п, т.е. R (n), поэтому представляет интерес характер этой зависимости. Аналитически эту зависимость в общем виде показать сложно, но численные расчеты показывают, что начиная с неко­торого п: R (n +l)< R (n). Этот факт и лежит в основе "скидки", предостав­ляемой клиенту при увеличении срока страхования (процентная ставка на­чинает влиять сильнее, чем сумма вероятностей наступления страхового случая).