Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значения из отрезка [a;b] равна определенному интегралу от плотности распределения вероятности, взятого в пределах от a до b.

b

P(a£ X £b) = ò f(x)*dx.

a

Доказательство: По свойству функции распределения, вероятность того, что

P(a£ X £b) = F(b)-F(a), а т.к. функция распределения F(x) является первообразной для плотности распределения f(x), то по формуле Ньютона-Лейбница

b

F(b) – F(a) = ò f(x)*dx. Теорема доказана.

a

0, x £0

Пример: Найти P(0,5<X<1), если F(x) = x², 0< x £1

1, x >1

Построить графики функции распределения вероятности и плотности распределения

P(0,5<X<1) = F(1) - F(0,5) = 1 –0,5² = 0,75

0, x £0

f(x) = F’(x) = 2*x, 0 < x £1

0 x > 1.

1

P(0,5<X<1) = x² = 1 –0,5² = 0,75

0,5

F(X) f(x)

2

1

1 X 1 2 x