Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть непрерывная случайная величина X имеет функцию распределения F(x).

F(x+Dx) – F(x) P(x<X<x+Dx)

f(x) = F’ (x) = lim ------------------------ = lim ----------------------

Dx® 0 Dx Dx® 0 Dx

Получили, что предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала (x, x + Dx) к длине этого интервала при Dx стремящемся к нулю, равен плотности распределения вероятности, вычисленной в точке x.

F(x+Dx) – F(x)» d(F(x)) = F’(x)* Dx = f(x)* Dx, т.о. вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение из интервала (x, x+Dx) примерно равна произведению плотности распределения вероятности на длину данного интервала. Геометрически это равенство можно истолковать таким образом: вероятность того, что случайная величина принимает значение из интервала от x до x+Dx равна площади прямоугольника (фигуры) с высотой f(x) и шириной Dx.

y

f(x)

x

a x x+Dx b